黎曼曲率張量

曲率張量通過列維-奇維塔聯絡(更一般的，一個仿射聯絡)(或者叫協變導數)由下式給出:

這裏R(u,v)是一個流形切空間的線性變換；它對於每個參數都是線性的。

注意有些作者用相反的符號定義曲率.

如果 與 是座標向量場則[u,v] = 0所以公式簡化為

也就是説曲率張量衡量協變導數的反交換性。

線性變換也稱曲率變換。

黎曼曲率張量有如下的對稱性:

最後一個恆等式由裏奇(Ricci)發現,但是稱為第一比安基恆等式(First Bianchi identity)或代數比安基恆等式(Algebraic Bianchi identity)，因為和下面的比安基恆等式相像。

這三個恆等式組成曲率張量對稱性的完整列表，也就是給定説任何滿足上述恆等式的張量，可以找到一個黎曼流形在某點的曲率張量和它一樣。簡單的計算表明這樣一個張量有n(n − 1) / 12個獨立分量。

另一個有用的恆等式可以由上面這些導出:

稱為比安基恆等式(Bianchi identity)，經常也叫第二比安基恆等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恆等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到協變導數:

給定流形某點的任一座標表示，上述恆等式可以用黎曼曲率張量的分量形式表示為:

第一（代數）比安基恆等式：或等價地寫為第二（微分）比安基恆等式：或等價地寫為其中方括號表示對下標的反對稱化，分號表示協變導數。這些恆等式在物理中有應用，特別是廣義相對論。