阿蒂亞-辛格指標定理

參見：橢圓型偏微分方程

設D是k維歐氏空間上的n階微分算子。如果p1, ..., pk是其上的座標函數，那麼定義其符號（symbol）是以（p1, ..., pk, q1, ..., qk）為自變量的函數，具體定義是去掉D的低階項，並將最高階項中的對pi求偏導的算子換成qi。因此D的符號是（q1, ..., qk）的n次齊次多項式。若對任意非零的序列（q1, ..., qk），此多項式的取值都非零，則稱D是橢圓算子。例如，帶

個變量的拉普拉斯算子的符號為q1, ..., qk的平方和，所以這是一個橢圓算子。

以上所述是歐氏空間上的算子。如果M是一個微分流形，其上的偏微商算子可以通過局部座標系定義。此時它的符號是M的餘切叢上的函數；對固定的M上的點，其符號是p的餘切空間上的齊次函數。此定義與局部座標的選取無關。

更進一步，對於M上向量叢E和F之間的偏微商算子D（一樣以局部座標定義），其符號是餘切叢上的E和F的拉回叢之間的映射。若D的符號在每個非零餘切向量上（x，w）的限制為Ex到Fx的可逆映射，則稱D為橢圓算子。

橢圓算子的一個關鍵特性在於它們“幾乎”可逆。對於緊流形上的橢圓算子D，存在偽微分算子P和Q使得與1-PD和1-DQ都是緊算子。由此可推知D的核與餘核都是有限維的，即D是一個弗雷德霍姆算子。 ^[7] 

因為橢圓算子有偽逆，它便是一個弗雷德霍姆算子。對這類算子，可定義指標為Index(D)=dim Ker(D)−dim Coker(D)。這個指標叫做算子D的解析指標。

例二. 考慮流形𝕊¹=ℝ/ℤ，算子

，其中λ∈ℂ，這是最簡單的橢圓算子。若λ∈2πiℤ，則

，反之則為零空間；其伴隨算子

滿足類似的性質，不難算出

的指數為零。由此例可見

與

在λ變化時可能有不連續點，但其差則是個常數。

設X是 n 維緊緻無邊微分流形，橢圓偏微分算子D:E→F的拓撲指標定義為

。換言之，是同調類

的最高維項在X的基本同調類上的取值。在此

是流形的Todd類，

在此

是託姆同構，B(X),S(X)指單位球面叢及其邊界。ch是陳特徵標，σ(D)是D的符號，而

是K理論中定義的差元。

設

為緊複流形，

為其上的復向量叢。定義

則解析指標等於

而拓撲指標等於

流形的A-hat虧格是個有理數。對於自旋流形，這個值總是整數，若

，則它還是個偶數。這個定理可以由指標定理導出，方法是考慮適當的狄拉克算子；當

時，此算子的核與餘核帶有四元數環上的向量空間結構，其復維度必為偶數，因此解析指標也必然是偶數。

蓋爾範德（I. Gelfand）首先注意到解析指標的同倫不變性，並在1959年提出了橢圓算子的指標問題，希望以流形的拓撲不變量描述解析指標。黎曼-羅赫定理是最早知道的特例；另一方面，波萊爾與希策布魯赫早先證明了自旋流形的A-hat虧格的整性，並猜想這個性質可以由某個狄拉克算子的指標詮釋。這個問題也由阿蒂亞與辛格在1961年聯手解決。

阿蒂亞與辛格在1963年宣佈他們的指標定理 ^[5]  ，但一直沒有正式發表，只出現在Palais編輯著作《指標定理討論班》（1965年出版）上 ^[6]  。他們在1968年發表了第二個證明，用K理論取代了初版證明中的配邊論方法。

阿蒂亞、博特與Patodi在 1973 年以熱傳導方程的手法給出另一個證明。格茨勒（E. Getzler）基於愛德華·維騰（1982）及 Alvarez-Gaume（1983）的想法，給出了局部狄拉克算子的局部指標定理的簡短證明，這涵攝了實際應用中的大多數例子。

雖然指標定理以阿蒂亞和辛格的名字命名，但學術界公認 ^[8]  ，有四位數學家在其中做出了最重要的貢獻：除去阿蒂亞和辛格，德國數學家希策布魯赫和匈牙利數學家博特也在其中。他們有時被稱為指標理論的“四人幫”。

主條目：偽微分算子

偽微分算子的想法可以用歐氏空間上的常係數偏微分算子解釋。這些算子不外是多項式函數的傅立葉變換；如果我們容許更一般的函數，其傅立葉變換就構成了偽微分算子。對於一般的流形，可以透過局部座標系定義偽微分算子，只是手續稍微繁瑣一些。

指標定理的許多證明中都利用偽微分算子，而非一般的微分算子，因為前者的理論更富彈性。舉例來説，橢圓算子的偽逆不是微分算子，卻仍是偽微分算子；另一方面，羣

的元素對應到橢圓偽微分算子的符號。

對偽微分算子可以定義階數，這個數可以是任意實數，甚至是負無窮大；此外也能定義其符號。橢圓偽微分算子定義為些對長度夠長的餘切向量為可逆的偽微分算子。指標定理的多數版本皆可推廣到橢圓偽微分算子的情形。

指標定理的首個證明奠基於希策布魯赫-黎曼-羅赫定理，並運用到配邊理論與偽微分算子。想法簡述如下。

考慮由資料

構成的環，其中

是緊定向微分流形，

是向量叢，其加法與乘法分別由不交併與積導出；我們考慮此環對關係

的商環。這個構造類似於配邊環，不過此時我們還慮及流形上的向量叢。解析指標與拓撲指標皆可詮釋為從此環映至整數環的同態。託姆的配邊理論給出了這個環的一組生成元，我們可以對這些較簡單的例子驗證指標定理，從而導出一般的情形。

阿蒂亞與辛格正式發表的第一個證明採用了K理論。設

為緊流形，

為閉浸入，他們對橢圓算子定義了一個推前運算

，並證明

保持指標。我們一方面可取

為一個包括

的高維球面；另一方面，仍取

為前述球面，而

為其內一點。由於

保持指標，而拓撲指標也具備相容的運算，兩相比較後可將指標定理化約到一個點的情形，此時極易證明。

阿蒂亞、博特與Patodi在1973年給出了熱傳導方程手法的證明。Getzler-Berline-Vergne在2002年給出一個精神相近的簡化證明，其中利用了超對稱的想法。 ^[9] 

設

為偏微分算子，

為其伴隨算子，則

、是自伴算子，並具有相同的非零特徵值（記入重數），但是它們核空間不一定有相同維度。

的指標寫作

在此

可任取。

上式右側是兩個熱核的差，它們在

時有漸近表示式，它乍看複雜，但不變量理論表明其中有許多相銷項，藉此可明確寫下領導項，由此可證出指標定理。這些相銷現象稍後也得到超對稱理論的詮釋。

一個橢圓復形是一個由向量叢構成的復形0 → E0 → E1 →E2 → ... → Em →0 其中的每個箭頭都是微分算子，其符號構成一個正合復形。當這個復形只有有兩項非零時，前述條件等價於其間的算子是橢圓的，因此橢圓算子是橢圓復形的特例。反過來説，給定一個橢圓復形，分別考慮其奇次項與偶次項的直和，其間的映射由原復形的映射及伴隨映射給出，如此則可得到橢圓算子。

當考慮帶邊流形上的橢圓算子時，需要添加橢圓邊界條件來得到有限的指標。阿蒂亞和博特將指標定理推廣到帶邊流形上的橢圓算子。

設緊李羣G作用在緊流形和向量叢上，並與所考慮的橢圓算子D可交換，那麼D的核與餘核都是G的有限維表示，D的指標可以看作G的一個特徵（character）。我們可以用等變K理論替代一般的K理論，得到的結果稱為等變指標定裏。

當阿蒂亞與辛格在2004年獲得阿貝爾獎時，公告上是這麼形容阿蒂亞-辛格指標定理的：“我們以隨時空改變的力與測量量描述世界。自然律以這些量的變化率表示，稱為微分方程。這些方程可以有個“指標”，這是方程的解數減去對所求值的限制數目。阿蒂亞-辛格指標以空間的幾何性質描述這個量。

艾雪著名的詭異作品《升降》解釋了一個簡單的例子。圖中的人們一直在上坡，卻仍繞行着城堡的天井。指標定理可以告訴它們：這是辦不到的！”