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配邊理論
鎖定
兩個k維閉微分流形V，W稱為配邊，如果V，W一起構成（n+1）維有邊緣流形的邊緣。這個非常明顯的概念首先是託姆在1954年的論文中提出來的。託姆對一般流形建立配邊理論，對微分流形進行最粗的分類之後，流形的分類可以分兩個方向進行：一是對於一般流形進行較為精細的分類，另一是沿着配邊理論的方向，對更特殊類的流形做更為細緻的分類。這後一方向，從託姆時起一直仿照着託姆的模式繼續進行並取得重要的成就。到現在已經對20多種配邊理論進行過研究。配邊理論還有復配邊理論、辛配邊理論等，它們各有一些結果。
- 中文名
- 配邊理論
- 外文名
- cobordism theory
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 微分拓撲學
- 相關概念
- 配邊，閉微分流形，定向配邊類等
- 創立者
- 託姆
配邊理論基本介紹
配邊理論從直觀上十分清楚。兩個k維閉微分流形V，W稱為配邊，如果V，W一起構成(n+1)維有邊緣流形的邊緣。
這個非常明顯的概念首先是託姆在1954年的論文中提出來的。這篇劃時代的論文題目是“微分流形的某些整體性質”，實際上完成了流形在配邊這個等價關係下的分類，在先不考慮定向的情況下，每一維的所有流形都可以根據它們是否配邊來歸類，相互配邊的流形算作同一類。託姆創立了配邊理論，他指出任何兩個流形屬於同一類的充分必要條件，從而完成了流形的粗分類的工作，然後他又對每一類找出一個代表，有了這些代表，任何一個流形就屬於某一個代表的類了。
在託姆之前，數學家也曾考慮類似的問題。蘇聯數學家龐特里亞金和羅赫林，都曾經研究過更基本的問題：什麼時候一個k維流形是一個(k+1)維流形的邊緣?由於同調論的關鍵部分是邊緣算子，因此他們把這種問題稱為內在同調。這樣的問題顯然只是配邊理論的一個特殊情形，而且產生不出配邊等價類的結構，也出現不了微分流形的粗分類。從這種情形下看也可以看出託姆思想的偉大創造性。託姆的配邊理論還有另外一個來源，就是一個微分流形的同調類能否被其子流形來表示。這是著名的斯廷洛德問題。託姆在他的研究中也給這個問題一個明確的回答：
這裏的
是以正交羣
為結構羣的萬有k維向量叢
的託姆複合形，而流形X上一個向量空間叢
的託姆複合形，就是把與
相伴的k維閉圓盤叢
中把其邊緣所構成的(k-1)維球面叢
縮為一點後所成的空間，這個空間稱為託姆空間，由於它有CW複合形的同倫型，因此稱為
的託姆複合形。而
配邊理論無定向配邊理論
託姆在所有不考慮定向的流形中，引入一個等價關係，其相互配邊的流形(同一維)構成一個等價類。n維閉流形等價類全體在加法之下構成阿貝爾羣
，其中加法為
託姆的工作完整地定出配邊環的結構，他證明了下列結果：
(1)託姆基本定理
(2)n的結構定理
成元
，且每
為實射影空間
的配邊類。
(3)配邊的充分必要條件 兩流形配邊當且僅當其每個施蒂費爾-惠特尼示性數對應相等。
配邊理論定向配邊理論
定向配邊理論的研究對象是所有定向流形的集合，其中所有流形都有兩種定向。如果一種用
表示，另一種則用
表示，它們在這個集合中代表不同的元素。
兩個
維閉流形
稱為定向配邊，如果存在一個
維可定向有邊緣流形X，使得
經過託姆、米爾諾(Milnor，John Willard，1931-) 和沃爾的研究，
的結構也完全決定。
配邊理論託姆基本定理
配邊理論結構定理
1960年，米爾諾證明
沒有p分量，p為任意奇素數。同年，沃爾證明
的2分量中不含4階元素。
設
為
中所有撓元構成的理想，則
為
上多面式環，以
為生成元，其中
可取為復
維非奇異代數簇。
配邊理論定向配邊不變量
兩個定向閉流形定向配邊當且僅當其所有的施蒂費爾-惠特尼示性數和龐特里亞金示性數對應相等。
