貝塞爾函數

是數學上的一類特殊函數的總稱。一般貝塞爾函數是下列常微分方程（一般稱為貝塞爾方程）的標準解函數

：

這類方程的解無法用初等函數系統地表示。

貝塞爾函數的具體形式隨上述方程中任意實數

變化而變化（相應地，

被稱為其對應貝塞爾函數的階數）。實際應用中最常見的情形為

是整數

，對應解稱為n階貝塞爾函數。

儘管在上述微分方程中，

本身的正負號不改變方程的形式，但實際應用中仍習慣針對

和

定義兩種不同的貝塞爾函數（這樣做能帶來好處，比如消除了函數在

點的不光滑性）。

貝塞爾函數（Bessel functions）是數學上的一類特殊函數的總稱。一般貝塞爾函數是下列常微分方程（一般稱為'''貝塞爾方程'''）的標準解函數。

這類方程的解無法用初等函數系統地表示。但是可以運用自動控制理論中的相平面法對其進行定性分析。

這裏，

被稱為其對應貝塞爾函數的階數。實際應用中最常見的情形為

是整數，對應解稱為

階貝塞爾函數。

儘管在上述微分方程中，本身的正負號不改變方程的形式，但實際應用中仍習慣針對 和

定義兩種不同的貝塞爾函數（這樣做能帶來好處，比如消除了函數在

點的不光滑性）。

貝塞爾方程是一個二階常微分方程，必然存在兩個線性無關的解。針對各種具體情況，人們提出了這些解的不同形式。下面分別介紹不同類型的貝塞爾函數。

幾個正整數階的貝塞爾函數早在18世紀中葉被瑞士數學家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出，當時引起了數學界的轟動。雅各布·伯努利，萊昂哈德·歐拉|歐拉、約瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等數學大師對貝塞爾函數的研究作出過重要貢獻。1817年，德國數學家弗里德里希·威廉·貝塞爾在研究約翰內斯·開普勒提出的三體萬有引力系統的運動問題時，第一次系統地提出了貝塞爾函數的理論框架，後人以他的名字來命名了這種函數。

貝塞爾方程是在柱座標或球座標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的，因此貝塞爾函數在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中佔有非常重要的地位，最典型的問題有：

* 在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；

* 圓柱體中的熱傳導定律|熱傳導問題；

* 圓形（或環形）薄膜的振動模態分析問題；

貝塞爾函數的實例：一個緊繃鼓面在中心受到敲擊後的二階振動振型，其振幅沿半徑方向上的分佈就是一個貝塞爾函數（考慮正負號）。實際生活中受敲擊的鼓面的振動是各階類似振動形態的疊加。

第一類

階貝塞爾函數

是貝塞爾方程當

為整數或

非負時的解，須滿足在

時有限。這樣選取和處理''J''_α的原因見本主題下面的貝塞爾函數#性質|性質介紹；另一種定義方法是通過它在

點的泰勒級數展開（或者更一般地通過冪級數展開，這適用於α為非整數）：

上式中

為Γ函數（它可視為階乘|階乘函數向非整型因變量和自變量|自變量的推廣）。第一類貝塞爾函數的形狀大致與按

速率衰減的正弦或三角函數|餘弦函數類似（參見本頁下面對它們漸進形式的介紹），但它們的零點並不是週期性的，另外隨着''x''的增加，零點的間隔會越來越接近週期性。圖2所示為0階、1階和2階第一類貝塞爾函數

的曲線（

）。

如果

;不為整數，則

和

線性無關，可以構成微分方程的一個'''解系'''。反之若

是整數，那麼上面兩個函數之間滿足如下關係：

=

於是兩函數之間已不滿足線性無關條件。為尋找在此情況下微分方程與

線性無關的另一解，需要定義'''第二類貝塞爾函數'''。

'''第二類貝塞爾函數'''也許比第一類更為常用。這種函數通常用表示，它們是貝塞爾方程的另一類解，又被稱為'''諾依曼函數'''，存在如下關係：

,

貝塞爾方程的另外一對重要的線性無關解稱為'''赫爾曼·漢開爾，漢開爾函數'''，分別定義為：

利用前面推出的關係可將漢開爾函數表示成：

:

黎卡提-貝塞爾函數（Riccati-Bessel functions）和球貝塞爾函數比較類似：

:

該函數滿足方程：

利用柱座標求解涉及在圓、球與圓柱內的勢場的物理問題時出現的一類特殊函數。又稱標函數。用柱座標解拉普拉斯方程時，用到貝塞爾函數，它們和其他函數組合成柱調和函數。除初等函數外，在物理和工程中貝塞爾函數是最常用的函數，它們以19世紀德國天文學家F.W.貝塞爾的姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。貝塞爾函數最早出現在涉及如懸鏈振盪，長圓柱體冷卻以及緊張膜振動的問題中。貝塞爾函數的一族，也稱第一類貝塞爾函數，記作

，用

的偶次冪的無窮和來定義，數

稱為貝塞爾函數的階，它依賴於函數所要解決的問題。

的圖形像衰減的餘弦曲線，

像衰減的正弦曲線(見圖)。第二類貝塞爾函數(又稱諾伊曼函數)，記作

。當n為非整數時，

可以由第一類貝塞爾函數的簡單組合來定義；當

為整數時，

不能由第一類貝塞爾函數的簡單組合得到，此時需要通過一個求極限過程來計算函數值。第三類貝塞爾函數（亦稱漢克爾函數）定義為

，其中

為虛數，用n階(正或負)貝塞爾函數可解稱為貝塞爾方程的微分方程 ^[1]  。

貝塞爾方程是在柱座標或球座標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式 α = n；在球形域問題中得到的是半奇數階形式 α = n+½），因此貝塞爾函數在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中佔有非常重要的地位，最典型的問題有：

* 在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；

* 圓柱體中的熱傳導問題；

* 圓形（或環形）薄膜的振動模態分析問題；

在其他一些領域，貝塞爾函數也相當有用。譬如在信號處理中的調頻合成（FMsynthesis）或凱澤窗（Kaiser window）以及波動聲學中都要用到貝塞爾函數 ^[2]  。