第二類貝塞爾函數

貝塞爾函數的幾個正整數階特例早在18世紀中葉就由瑞士數學家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出了，當時引起了數學界的興趣。丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格朗日等數學大師對貝塞爾函數的研究作出過重要貢獻。1817年，德國數學家貝塞爾在研究開普勒提出的三體引力系統的運動問題時，第一次系統地提出了貝塞爾函數的總體理論框架，後人以他的名字來命名了這種函數。 ^[2] 

貝塞爾方程是在圓柱座標或球座標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式 α =n；在球形域問題中得到的是半奇數階形式 α =n+½），因此貝塞爾函數在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中佔有非常重要的地位，最典型的問題有：

（1）在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；

（2）圓柱體中的熱傳導問題；

（3）圓形（或環形）薄膜的振動模態分析問題；

在其他一些領域，貝塞爾函數也相當有用。譬如在信號處理中的調頻合成（FM synthesis）或凱澤窗（Kaiser window）的定義中，都要用到貝塞爾函數。 ^[3] 

貝塞爾方程是一個二階常微分方程

必然存在兩個線性無關的解。針對各種具體情況，人們提出了表示這些解的不同形式。

第二類貝塞爾函數(Bessel function of the second kind )亦稱諾伊曼函數，下文有時會簡稱為Y函數，記作Y_α。

第二類貝塞爾函數也許比第一類更為常用。 這種函數通常用Y_α(x)表示，它們是貝塞爾方程的另一類解。x= 0 點是第二類貝塞爾函數的（無窮）奇點。

Y_α(x)又被稱為諾依曼函數（Neumann function），有時也記作N_α(x)。它和J_α(x)存在如下關係：

若α為整數（此時上式是0/0型未定式）則取右端的極限值。

從前面對J_α(x)的定義可以知道，若α不為整數時，定義Y_α是多餘的（因為貝塞爾方程的兩個線性無關解都已經用 J 函數表示出來了）。另一方面，若α為整數，Y_α便可以和J_α構成貝塞爾方程的一個解系。與 J 函數類似，Y函數正負整數階之間也存在如下關係：

J_α(x)和Y_α(x)均為沿負實半軸割開的複平面內關於x的全純函數。當α為整數時，複平面內不存在貝塞爾函數的支點，所以J和Y均為x的整函數。若將x固定，則貝塞爾函數是α的整函數。如圖《0階、1階和2階第二類貝塞爾函數（貝塞爾Y 函數）曲線圖》所示為0階、1階和2階第二類貝塞爾函數Y_α(x)的曲線（α = 0,1,2）。 ^[3] 

第二類貝塞爾函數在α非負時具有下面的漸近形式。當自變量x為小量，即

時，有：

式中γ為歐拉-馬歇羅尼常數（也叫歐拉常數，等於 0.5772156649...），Γ 為 Γ 函數。對於很大的x，即

時，漸近形式為 ^[3]  ：