線性擬合

在科學技術的許多領域中，常會遇到以下問題：在各種物理問題和統計問題中，對有關量進行多次觀測或實驗得到了一些數據組，它們是零散的，不僅不便於處理，而且通常不能確切和充分地體現出其固有的規律。為了得到數據之間的固有規律或者用當前數據來預測期望得到的數據，就要用連續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的座標之間的函數關係，高維空間中的相應問題亦屬此範疇。設x,y為被觀測的量，y可表示為x的函數：

。假定這個函數關係已經由實際問題從理論上具體確定，則稱為理論函數，但其中含有n個未知參數。通過實驗可以獲得多組數據：

，通過m組數據可尋求參數b的最佳估計值，即尋求最佳的理論函數

。在數值分析中，曲線擬合就是用解析表達式逼近離散數據，即離散數據的公式化。 ^[1] 

若理論函數

是各參數

(i=1,2,…，n)的

線性函數，則稱為線性擬合。 ^[1] 

一般的線性模型是以參數b為係數的廣義多項式，即

式中

為已知的n個線性無關的連續函數，稱為基函數。對諸

的不同選取可構成多種典型的和常用的線性模型。

在最小二乘意義下用線性模型擬合離散點組，參數b可通過解方程組來確定，即解關於

的線性代數方程組:

該方程組通常稱為法方程或正規方程。

至於非線性模型以及非最小二乘原則的情形,參數b可通過解非線性方程組或最優化計算中的有關方法來確定（見非線性方程組數值解法、最優化）。 ^[1] 

對於給定的離散數據,需恰當地選取一般模型中函數f(x,b)的類別和具體形式,這是擬合效果的基礎。若已知離散數據的實際背景規律，即因變量y對自變量x的依賴關係已有表達式形式確定的經驗公式，則直接取相應的經驗公式為擬合模型。反之，可通過對模型中基函數

（個數和種類)的不同選取，分別進行相應的擬合併擇其效果佳者。函數

對模型的適應性起着測試的作用，故又稱為測試函數。另一種途徑是:在模型中納入個數和種類足夠多的測試函數，藉助於數理統計方法中的相關性分析和顯著性檢驗，對所包含的測試函數逐個或依次進行篩選以建立較適合的模型（見迴歸分析）。當然，上述方法還可對擬合的殘差（視為新的離散數據）再次進行，以彌補初次擬合的不足。總之，當數據中變量之間的內在聯繫不明確時，為選擇到相適應的模型，一般需要反覆地進行擬合試驗和分析鑑別。 ^[1] 

線性擬合作為數學計算中一種常用的數學方法，在建築、物理、化學、甚至於天體物理、航天中都得到基本的應用。一般情況下，線性擬合需要根據實際需要，取用不同的擬合度，即R2。 ^[1] 

兩個變量之間的關係是一次函數關係的——圖象是直線，這樣的兩個變量之間的關係就是“線性關係”；如果不是一次函數關係的——圖象不是直線，就是“非線性關係”。線性擬合和非線性擬合不同。 ^[1]