非線性模型

如果解釋變量X的單位變動引起因變量的變化率

(即斜率)是一個常數。則迴歸模型是一種(解釋)變量線性模型。相反，如果斜率不能保持不變，則迴歸模型就是一種(解釋)變量非線性模型。

非線性模型的一般形式是：

式中，Y是被解釋變量；

是解釋變量；

是模型參數；

為擾動項；

是非線性函數。式中解釋變量的個數k與參數個數j不一定相等 ^[1]  。

Y與X之間不存在線性關係，但Y與參數

之間存在線性關係。例如：

Y與X之間存在線性關係，但是Y和參數

之間不存在線性關係。例如，下面的模型是一個參數非線性模型，因為

以平方的形式出現。

對於非線性迴歸分析，只有參數的線性迴歸分析才是重要的，因為變量的非線性可通過適當的重新定義來解決 ^[1]  。

(1)Y與解釋變量不存在線。Y與未知參數也不存在線性關係，但可以通過適當的變換將其化為標準的線性叫歸模型。

例1柯布-道格拉斯生產函數。生產函數是指在一定時期內，在技術水平不變的情況下，生產中所使用的各種生產要素的數量與所能生產的最大產量之間的關係。也就是説，生產過程中總投入與總產出之間的一種函數關係。經濟學中，柯布-道格拉斯生產函數(C-D生產函數)是指產出表示為技術、資本和勞動投入量的函數。該生產函數由美國數學家柯布(C.W.Cobb)和經濟學家保羅·道格拉斯(Paul H.Douglas)共同創立而得名，是經濟學中普遍使用的生產函數。其形式為：

式中，Y表示產出；K和L分別表示資本投入和勞動力投入，A表示技術係數，

和

分別表示資本和勞動的產出彈性。

將C-D生產函數經對數變換。轉換為如下形式：

就可以利用線性模型中的OLS估計實現對生產函數中各系數的估計。

(2)Y與X不存在線性關係，Y與未知參數也不存在線性關係，而且也不能通過適當的變換將其化為標準的線性迴歸模型。

在現實生活中，並非所有非線性函數形式都可以線性化，那些不能線性化的模型一般形式為：

比如，

就是一個不能進行線性化處理的模型 ^[1]  。

非線性模型是反映自變量與因變量間非線性關係的數學表達式。設隨機變量為Y， 若可表示為：

此結構稱為非線性模型， 其中

為某種非線性函數。Y為一隨機變量(因變量)的n次觀察值構成的n維向量。X為設計矩陣，由p個變量(自變量)

的n次觀察值構成的n×p維向量，β為未知參數向量，e為隨機誤差向量，通常假設各觀測值是相互獨立且是同分布的，即

。這裏

，而

也可以是未知的，這時它也是模型的未知參數， 稱為誤差方差。

非線性模型的形式多種多樣， 依建立模型的方法不同可分為：①推理模型。根據具體學科理論揭示的變量間相互關係用數學分析的方法建立模型， 如Logistic模型等，這類模型具有一定的生物學基礎，其參數具有確定的生物學意義。②經驗模型。對某些變量無法推理方法得到或經推理得到但過於複雜的變量間關係，可利用適當的數學關係式直接擬合變量間關係，建立純經驗性模型，如奶牛泌乳曲線等，這類模型的參數多數沒有直接的生物學意義， 使模型的應用受到一定的限制。

依描述變量間關係的常用數學函數形式分為：指數模型、對數模型、冪函數模型、Logistic模型、二次函數模型以及由此構成的複合模型等。

處理非線性模型首先是建立或選擇適當的模型，然後是確定模型中所包含的參數， 其參數估計的基本原則仍是最小二乘估計，方法通常有三種：①變量變換法。通過某種數學轉換將非線性模型化為線性模型，即“曲線改直”或利用線性多項式逼近，該法簡單易行，具有一定的實用價值。②非線性迴歸法。根據最小二乘原則使誤差平方和最小，對非線性模型直接求解，常用的是Gauss-Newton法及在此基礎上改進的Marquardt法，可通過各種迭代法直接估計模型常數，這是處理非線性模型最為常用的方法。③直接優化法。直接利用非線性模型計算剩餘平方和並以其最小為優化目標函數尋求最優迴歸係數， 常用的是單純形優化法。

在畜牧業中非線性模型常用於研究各種變量間的非線性迴歸擬合、動物生長曲線、奶牛泌乳曲線及產蛋曲線等。隨着計算方法及手段的極大改進，非線性模型的應用得到迅速發展 ^[2]  。

假定根據理論或經驗，已估計輸出變量與輸入變量之間的非線性表達式，但表達式的係數是未知的，要根據輸入輸出的n次觀測結果來確定係數的值。處理非線性迴歸的基本方法是，通過變量變換，將非線性迴歸化為線性迴歸，然後用線性迴歸方法處理。

指數函數模型為：

對應的曲線為：

令

，則

，得

令

，則

，得

對數函數模型為：

對應的曲線為：

令

，則

雙曲線函數模型為：

對應曲線如下。

令

，則

S型曲線函數模型為：

對應的曲線如下所示。

令

則

在只有一個自變量的情況下，多項式模型如下：

令

，則上述多項式可變換為多元線性模型： ^[3]