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旋轉羣
鎖定
旋轉羣定義
在經典力學與幾何學裏，所有環繞着三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的羣，定義為旋轉羣。根據定義，環繞着原點的旋轉是一個保持矢量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。假若，一個線形變換保持矢量長度，逆反空間取向，則稱此變換為假旋轉。
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兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律．由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個羣。更加地，旋轉羣擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構，旋轉羣的運算是光滑的；所以，它是一個李羣。旋轉羣時常會用 SO(3) 來表示。
旋轉羣長度與角度
旋轉羣旋轉軸
三維空間中非平凡的旋轉，皆繞着一個固定的“旋轉軸”，此旋轉軸是R的特定一維線性子空間（參見：歐拉旋轉定理）。旋轉作用在與旋轉軸正交的二維平面，如同尋常的二維旋轉。既然二維旋轉皆可以旋轉角φ表示，則任意三維旋轉則可用旋轉軸搭配旋轉角來表示。
舉例來説，繞着正z軸旋轉φ角的逆時針旋轉為
給定R中一單位矢量n以及角度φ，設R(φ, n)代表繞n軸作角度φ的逆時針旋轉，則：
- R(0,n)為相等轉換（identity transformation），n任意單位矢量；
- R(φ,n) =R(−φ, −n)；
- R(π + φ,n) =R(π − φ, −n)。
利用這些特性，參數為旋轉角φ（範圍： 0 ≤ φ ≤ π）與單位矢量n的任意旋轉有如下性質：
- 若φ = 0，n可為任意單位矢量；
- 若0 < φ < π，n為特定單位矢量；
- 若φ = π，n為彼此反向的兩特定單位矢量；亦即，旋轉R(π, ±n)是等價的。
旋轉羣有限子羣
- Ck：繞一條直線轉過角度2π/k的倍數的旋轉的循環羣
- Dk：正k邊形的二面體羣
- T：將正四面體映為自身的十二個旋轉四面體羣
- O：立方體或正八面體旋轉的24階八面體羣
- I：正十二面體或正二十面體的60個旋轉的二十面體羣
旋轉羣應用
正六面體：階24, 頂點8個，面6個，稜12條，均為正方形
轉動羣 | 頂點 | 面 | 稜 | 個數 |
不動 | (1)^8 | (1)^6 | (1)^12 | 1 |
面心-面心, ±90度 | (4)^2 | (1)^2 (4) | (4)^3 | 6 |
面心-面心180度 | (2)^4 | (1)^2 (2)^2 | (2)^6 | 3 |
稜心-稜心180度 | (2)^4 | (2)^3 | (1)^2 (2)^5 | 6 |
空間對角線±120度 | (3)^2 (1)^2 | (3)^2 | (3)^4 | 8 |
正八面體：階24, 頂點6個，面8個，稜12條，均為等邊三角形
轉動羣 | 頂點 | 面 | 稜 | 個數 |
不動 | (1)^6 | (1)^8 | (1)^12 | 1 |
頂點-頂點 ±90度 | (1)^2 (4) | (4)^2 | (4)^3 | 6 |
頂點-頂點 180度 | (1)^2 (2)^2 | (2)^4 | (2)^6 | 3 |
稜心-稜心 180度 | (2)^3 | (2)^4 | (1)^2 (2)^5 | 6 |
面心-面心 ±120度 | (3)^2 | (3)^2 (1) | (3)^4 | 8 |
正十二面體：階60, 頂點20個，面12個，稜30條，均為正五邊形
轉動羣 | 頂點 | 面 | 稜 | 個數 |
不動 | (1)^20 | (1)^12 | (1)^30 | 1 |
面心-面心±72,±144度 | (5)^4 | (1)^2 (5)^2 | (5)^6 | 24 |
稜心-稜心180度 | (2)^10 | (2)^6 | (1)^2 (2)^14 | 15 |
頂點-頂點±120度 | (1)^2 (3)^6 | (3)^4 | (3)^10 | 20 |
正二十面體：階60, 頂點12個，面20個，稜30條，均為等邊三角形
轉動羣 | 頂點 | 面 | 稜 | 個數 |
不動 | (1)^12 | (1)^20 | (1)^30 | 1 |
頂點-頂點±72,±144度 | (1)^2 (5)^2 | (5)^4 | (5)^6 | 24 |
稜心-稜心180度 | (2)^6 | (2)^10 | (1)^2 (2)^14 | 15 |
面心-面心±120度 | (3)^4 | (1)^2 (3)^6 | (3)^10 | 20 |
足球：階60, 頂點60個，面32個，稜數90條，20個正六邊形，12個正五邊形
轉動羣 | 頂點 | 面 | 稜 | 個數 |
不動 | (1)^60 | (1)^32 | (1)^90 | 1 |
五邊形面心-五邊形面心±72,±144度 | (5)^12 | (1)^2 (5)^6 | (5)^18 | 24 |
六邊形面心-六邊形面心±120度 | (3)^20 | (1)^2 (3)^10 | (3)^30 | 20 |
正六邊形稜中-稜180度（這種稜有30條） | (2)^30 | (2)^16 | (1)^2 (2)^44 | 15 |
類足球(正八面體切掉角)：階24，頂點24個，面14個，稜數36條，8個正六邊形，6個正方形
轉動羣 | 頂點 | 面 | 稜 | 個數 |
不動 | (1)^24 | (1)^14 | (1)^36 | 1 |
正方形面心-正方形面心±90度 | (4)^6 | (1)^2 (4)^3 | (4)^9 | 6 |
正方形面心-正方形面心180度 | (2)^12 | (1)^2 (2)^6 | (2)^18 | 3 |
六邊形面心-六邊形面心±120度 | (3)^8 | (1)^2 (3)^4 | (3)^12 | 8 |
六邊形稜中-六邊形稜中180度 | (2)^12 | (2)^7 | (1)^2 (2)^17 | 6 |
