正四面體

正四面體是五種正多面體中的一種，有4個正三角形的面，4個頂點，6條稜。正四面體不同於其它四種正多面體，它沒有對稱中心。正四面體有六個對稱面，其中每一個都通過其一條稜和與這條稜相對的稜的中點。正四面體很容易由正方體得到，只要從正方體一個頂點A引三個面的對角線AB，AC，AD，並兩點兩點連結之即可。正四面體和一般四面體一樣，根據保利克-施瓦茲定理能夠用空間四邊形及其對角線表示。正四面體的對偶是其自身。 ^[1] 

正四面體是由四個全等的正三角形所組成的幾何體。它有四個面、四個頂點、六條稜。每個二面角均為70°32’，有四個三面角，每個三面角的面角均為60°，以a表示稜長，A表示全面積，V表示體積，則

1.正四面體的每一個面是正三角形，反之亦然。

2.正四面體是三組對稜都垂直的等面四面體。

3.正四面體是兩組對稜垂直的等面四面體。

4.正四面體的對稜中點的連線都互相垂直且相等，等於稜長的

倍，反之亦真。

5.正四面體的各稜的中點是正八面體的六頂點。

6.正四面體的全面積是稜長平方的

倍，體積是稜長立方的

倍。

7.正四面體的四個旁切球半徑均相等，等於內切球半徑的2倍，或等於四面體高線的一半。

8.正四面體的內切球與各側面的切點是側面三角形的外心，或內心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命題均成立。

9.正四面體的外接球球心到四面體四頂點的距離之和，小於空間中其他任一點到四頂點的距離之和。

10.正四面體內任意一點到各側面的垂線長的和等於這四面體的高。

11.對於四個相異的平行平面，總存在一個正四面體，其頂點分別在這四個平面上。

12.以正四面體的每條稜為直徑作球，設S是所作六個球的交集，則S中含有兩點，它們的距離為

倍稜長。

13.過正四面體的一稜及所對的稜的中點的截面面積與其側面三角形面積之比為

。

14.四面體為正四面體的充要條件是，其稜均做為外接平行六面體的側面對角線時，平行六面體為正方體。

15.四面體為正四面體的充要條件是，其共頂點三稜作為外接平行六面體的稜時，平行六面體為一個三面角均為60°的菱形六面體。

16.四面體為正四面體的充要條件是，四面體在平行於兩稜的每一個平面的射影是正方形。

17.四面體為正四面體的充要條件是，四面體的展開圖是一個引出了三條中位線的正三角形。

18.正四面體每條高的中點與底面三角形三頂點均構成直角四面體的四頂點，且高的中點為正三面角頂點。 ^[2] 

當正四面體的稜長為a時，一些數據如下：

高：

。中心把高分為1:3兩部分。

表面積：

體積：

對稜中點的連線段的長：

外接球半徑：

內切球半徑：

兩條高夾角：

側稜與底面的夾角：