平行六面體

平行六面體是底面為平行四邊形的稜柱，它是一種特殊的四稜柱，共有六個面，每個面都是平行四邊形。

平行六面體的六個面兩兩平行，並且分別是全等的平行四邊形．因此任何相對的兩個面都可以作為它的底面。

側稜和底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體，它是特殊的直四稜柱；底面是平行四邊形，側面都是矩形。

底面是矩形的直平行六面體叫做長方體，它的側面也都是矩形；底面是正方形的長方體叫做正四稜柱，稜長都相等的長方體叫做正方體，它的六個面都是全等的正方形。

一般的平行六面體稱為斜平行六面體，斜平行六面體共有四條對角線。 ^[2] 

1.平行六面體的四條對角線相交於一點且在這點互相平分，並稱該點為中心。

2.稱側面對角線的交點為側面中心，則相對側面中心的連線也交於平行六面體的中心．且在這一點互相平分。

3.平行六面體所有對角線的平方和等於所有稜的平方和。

4.平行六面體所有側面對角線的平方和等於其所有(體)對角線平方和的兩倍。

5.平行六面體每一側稜的平方等於與這側稜共向的兩側面四條面對角線的平方和減去與這側稜不共面而共端點的兩條側面對角線平方和所得差的四分之一。

6.平行六面體的每一對角線長的平方等於過這條對角線一端點的三條側面對角線的平方和減去過另一端點的三條稜的平方和。

7.平行六面體的每一對角線長的平方等於共一端點的三條稜長的平方和減去這二條稜中每兩條稜長及其所夾角餘弦之積的兩倍。

8.平行六面體的每一對角線通過與該對角線共端點的三條稜的另一端點構成的三角形截面的重心，且被這三角形截面分成三等分。

9.平行六面體的每個由三條側面對角線構成的三角形截面面積平方的4倍，等於這截面所截三個側面面積的平方和減去這三個側面中每兩個側面面積及其所夾二面角餘弦之積的兩倍。

10.平行六面體的八個由三條側面對角線構成的三角形截面面積的平方和等於六個側面面積的平方和。

11.通過平行六面體中心的任何平面，將平行六面體分成體積相等的兩部分。

12.以平行六面體任一頂點及這丁點出發的三條稜的端點構成的四面體的體積是平行六面體體積的六分之一。

13. 以平行六面體任一頂點及這頂點出發的三條側面對角線端點構成的四面體體積是平行六面體體積的三分之一。

14.平行六面體的體積等於底面積與高的乘積，或任一與相對面距離之積。

15.表面積一定的平行六面體中，以正方體之體積最大。

16.在各個側面面積為定值的平行六面體中，以長方體體積為最大。

17.由平行六面體的各頂點，至不截此體的一平面所引諸垂線段之和，等於由其I對角線之交點至同平面所引垂線段之和的8倍。 ^[3] 

作四面體的外接平行六面體，且使四面體的六條稜均成為平行六面體的側面對角線。此時，四面體與其外接平行六面體是一一對應的。特別地，一個正四面體對應着一個正方體，一個等腰四面體(三對對稜分別相等的四面體)對應着一個長方體，一個兩對對稜分別相等的四面體對應着一個直平行六面體，一個對稜均互相垂直的四面體對應着一個菱形六面體等等。

四面體的共一頂點的三稜成為平行六面體的共頂點的三稜時，一個四面體對應着四個外接平行六面體。特別地，一個正四面體對應着一個一頂點面角均為60°的菱形六面體，一個等腰四面體對應着兩個一頂點面角之和為180°的平行六面體等等。 ^[3] 

從本世紀初開始，人們試圖將三角形的許多性質引申到四面體——最簡單的多面體，事實證明發展四面體的幾何學比三角形幾何學困難得多，有些提法並不複雜的問題解答起來非常費勁，甚至未能解決。 ^[3]