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指數映射
鎖定
指數映射(exponential mapping)是由李羣的李代數到李羣的一種解析映射。若G為李羣,e為單位元素,Te(G)為G中點e的切空間,任取Xe∈Te(G),則唯一存在左不變向量場X,使得Xg=dLg(Xe),∀g∈G.
- 中文名
- 指數映射
- 外文名
- exponential mapping
- 所屬學科
- 微分幾何
- 相關概念
- 李代數
指數映射定義
指數映射黎曼流形定義
設M為黎曼流形,p∈M,
Vp:={v∈TpM:cv定義於[0,1]}
指數映射李羣定義
指數映射性質
指數映射在原點處的切向量為X(e)。
單參數子羣可定義為expX:t↦exp(tX)。
exp(tX)=expX(t)
exp(t1+t2)X=(exp(t1X))(exp(t2X))
指數映射等價定義
指數映射定義1
由李羣的李代數到李羣的一種解析映射。若G為李羣,e為單位元,Te(G)為G中點e的切空間,任取Xe∈Te(G),則惟一存在左不變向量場X,使得Xg=dLg(Xe),∀g∈G.任給左不變向量場X,構作算子
任意取定單位座標鄰域U,點x=(x1,x2,…,xn),記
當|t|<ε,(σ1,σ2,…,σn)為U中點.於是,在U中有一條單參數解析曲線
記exp(tX)=σ(t),|t|<ε.它可開拓到t∈(-∞,∞),使得
且exp(tX),t∈(-∞,∞)為G之一維連通李子羣.反之,任意一維連通李子羣惟一決定左不變向量場X,使得此李子羣為exp(tX).於是,有映射exp:J→G,稱為指數映射,這裏J為李羣G的李代數.指數映射是建立李羣和它的李代數間的關係的重要工具,在李羣理論中佔有重要的地位.
且exp(tX),∀t∈(-∞,∞)為G之一維連通李子羣.反之,任意一維連通李子羣惟一決定左不變向量場X,使得此李子羣為exp (tX ).於是,有映射exp:J→G,稱為指數映射,這裏J為李羣G的李代數.指數映射是建立李羣和它的李代數間的關係的重要工具,在李羣理論中佔有重要的地位
[1]
.
指數映射定義2
切平面到曲面的一種映射.設TP是曲面S在P點的切平面,指數映射是從切平面TP到曲面S上的一個對應關係,記成exp:TP→S,定義如下:設v是曲面S在P點的一個切向量,過P作S上切於v的測地線,在此測地線上取一點M使得從P到M的弧長正好等於v的長度|v|,則定義expv=M
[1]
。
的測地線:
:(-2,2)→M
滿足初始條件
那麼點γ(1)∈M叫做在q點切向量v的指數映像,用
(v)表示γ(1),而映射
稱為在q點的指數映射.於是,滿足初始條件的唯一測地線可表達為
定義 若對於任何點q∈M和任何向量v∈
(M),指數映像
(v)總是確定的,則曲面M稱為測地完備的.
顯然,測地完備性等價於下述要求:對於每段測地線段
→M,總能夠把
延拓成無限長的測地線:
γ:R→M
指數映射與李代數
研究李代數元素的另一種方法是把它看作羣上的左不變向量場.迄今為止,我們只是討論單位元處的向量,對於向量場,需要涉及所有羣元素的切線.將一個羣元素在左側相乘。就定義了羣流形的一個同構g:G→G,其中g(g₁):gg₁,羣在它的基礎流形上的這個作用誘導出在該流形向量場上的作用.左不變向量場關於這個作用是固定不變的.將任何左不變向量場限制到單位元上的切向量。即一個李代數元素.而給出一個單位元上的切向量。就能產生一個左不變向量場.我們需要做的就是左平移原始向量到流形上的每個點.如果X是一個矩陣。描述單位元處的切向量。則在羣的點g處的切向量定義為gX。因此,單位元的切向量和左不變向量場之間是一一對應的。
[3]
這些左不變向量場的積分曲線在後面起重要的作用.向量場的積分曲線是在每一點都與該場相切的曲線.對於左不變向量場。這個曲線滿足如下微分方程: .
這個方程有解析解,通過單位元素的解是
矩陣X的指數可以展開成冪級數:
對於矩陣指數有如下關係:
這表示只有當指數是可交換時,指數積運算時指數才可以相加.當然,元素t1X和t2X是可交換的,這表示形如
的羣元素構成子羣:
它們是羣的一維或單參數子羣.用這種方法。每個李代數元素都產生一個單參數子羣.
指數函數也可以被看作給出了從李代數到羣的映射。這個映射通常既不是單射也不是滿射,但是在單位元附近它是同胚映射。即在李代數上存在0的鄰域同胚映射到羣的單位元的鄰域.在這個鄰域存在一個逆映射。通常被稱作對數,由眾所周知的Mercator級數定義。即
當g遠離單位元時,級數不收斂。
矩陣指數的行列式是矩陣跡的指數:
矩陣的跡Tr()是它的對角線元素之和.如果矩陣X的特徵值都不相同。那麼這個關係能夠通過對角化矩陣簡單地證明.即使在一般情況下,這個關係也是正確的.由這個關係可以得到:矩陣指數的行列式為1當且僅當矩陣是跡為0的.這就是李代數so(n),su(n)和sl(n)由跡為0的矩陣構成的原因.
對於某些李代數,我們能夠更詳細地確定它的指數映射.例如。考慮su(2),典型的李代數元素m用伴隨表示可以描述成如下形式的矩陣:
通過簡單的計算可以得到M²=(a²+b²+c²)I₂.如果要求M=
X。則得到X²=-I₂.由此將det(M)=a²+b²+c²看作是參數t²。將它們代入到指數定義得到
這也可以用原始的李代數元素M寫作
可以由M的行列式得到t.
上述關係是線性的。這意味着對數也能夠簡單地求出.如果U是su(2)的元素。則