希爾伯特問題

在1900年8月巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的相信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。

希爾伯特為了發表在1900年的演説在之前做了細緻的準備，當時他有兩個想法：作一個為純粹數學辯護的演講，或者討論一下新世紀的發展方向，為此他與閔可夫斯基討論，兩位數學家都認為第二種題目更具有劃時代的意義，希爾伯特為此準備了8個月，才完成了演講稿。

希爾伯特作為當時的國際領頭數學家，以其遠見卓識闡述了數學發展的特點，分析了數學內部及外部因素對數學進步的作用，強調了重大數學問題乃是數學前進的指路明燈。他堅信數學不會因正在盛行的專門化趨勢而被分割成不聯繫的孤立分支，數學作為一個整體的生命力正在於其各個部分間聯繫。 ^[1] 

第1到第3問題

（1）康託的連續統基數問題。

1874年，康託猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科恩（P.Choen）證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。

（2）算術公理系統的無矛盾性。

歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統的無矛盾性。

（3）只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。

問題的意思是：存在兩個等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等德恩（M.Dehn）1900年已解決。 ^[2] 

第4到第6問題

（4）兩點間以直線為距離最短線問題。

此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫（Pogleov）宣佈，在對稱距離情況下，問題獲解決。

（5）拓撲學成為李羣的條件（拓撲羣）。

這一個問題簡稱連續羣的解析性，即是否每一個局部歐氏羣都一定是李羣。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊平（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。

（6）對數學起重要作用的物理學的公理化。

1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。後來，在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。 ^[2] 

第7到第9問題

（7）某些數的超越性的證明。

需證：如果α是代數數，β是無理數的代數數，那麼αβ一定是超越數或至少是無理數（例如，2√2和eπ）。蘇聯的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數理論還遠未完成，確定所給的數是否超越數，尚無統一的方法。

（8）素數分佈問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數問題。

素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未最終解決。其中，哥德巴赫猜想的最佳結果屬於中國數學家陳景潤（1+2），而華人數學家張益唐在2013年在孿生素數猜想領域做出了突破性的貢獻。

（9）一般互反律在任意數域中的證明。

1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發展之中。 ^[2] 

第10到第12問題

（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？

求出一個整數係數方程的整數根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數學家）方程可解。1950年前後，美國數學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。儘管得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯繫。

（11）一般代數數域內的二次型論。

德國數學家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結果。60年代，法國數學家魏依（A.Weil）取得了新進展。

（12）類域的構成問題。

即將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。 ^[2] 

第13到第15問題

（13）一般七次代數方程以二變量連續函數之組合求解的不可能性。

七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴於3個參數a、b、c；x=x(a,b,c)。這一函數能否用兩變量函數表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯數學家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在〔0，1〕上連續的實函數f(x1，x2，x3)可寫成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，這裏hi和ξi為連續實函數。柯爾莫哥洛夫證明f(x1，x2，x3)可寫成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)這裏hi和ξi為連續實函數，ξij的選取可與f完全無關。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續可微情形，對解析函數情形則未解決。

（14）某些完備函數系的有限的證明。

即域K上的以x1,x2,…,xn為自變量的多項式fi（i=1,…，m），R為K〔X1，…，Xm]上的有理函數F（X1，…，Xm）構成的環，並且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]試問R是否可由有限個元素F1，…，FN的多項式生成？這個與代數不變量問題有關的問題，日本數學家永田雅宜於1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。

（15）建立代數幾何學的基礎。

荷蘭數學家範德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。

注一舒伯特（Schubert）計數演算的嚴格基礎。

一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學有密切的關係。但嚴格的基礎至今仍未建立。 ^[2] 

第16到第18問題

（16）代數曲線和曲面的拓撲研究。

此問題前半部涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環的最多個數N（n）和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。對n=2（即二次系統）的情況，1934年福羅獻爾得到N(2)≥1；1952年鮑廷得到N(2)≥3；1955年蘇聯的波德洛夫斯基宣佈N(2)≤3，這個曾震動一時的結果，由於其中的若干引理被否定而成疑問。關於相對位置，中國數學家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過兩串。1957年，中國數學家秦元勳和蒲富金具體給出了n=2的方程具有至少3個成串極限環的實例。1978年，中國的史松齡在秦元勳、華羅庚的指導下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環的具體例子。1983年，秦元勳進一步證明了二次系統最多有4個極限環，並且(1,3)分佈，但證明有誤，至今二次系統的問題尚未解決。

（17）半正定形式的平方和表示。

實係數有理函數f(x1,…，xn)對任意數組（x1，…,xn）都恆大於或等於0，確定f是否都能寫成有理函數的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。

（18）用全等多面體構造空間。

德國數學家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。 ^[2] 

第19到第21問題

（19）正則變分問題的解是否總是解析函數？

德國數學家伯恩斯坦（Bernstein，1929）和蘇聯數學家彼德羅夫斯基（1939）已解決。

（20）研究一般邊值問題。

此問題進展迅速，己成為一個很大的數學分支。日前還在繼續發展。

（21）具有給定奇點和單值羣的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。

此問題屬線性常微分方程的大範圍理論。希爾伯特本人於1905年、勒爾（H.Rohrl）於1957年分別得出重要結果。1970年法國數學家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻。 ^[2] 

第22到第23問題

（22）用自守函數將解析函數單值化。

此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（P.Koebe）對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。

（23）發展變分學方法的研究。

這不是一個明確的數學問題。20世紀變分法有了很大發展。 ^[2]