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合同公理
鎖定
合同公理(axiom of congruence)是建立圖形相等關係的公理，它是希爾伯特公理體系中的第Ⅲ組公理。亦稱“全合公理”、“疊合公理”、“全等公理”，是有關圖形間“…與…合同”這種合同關係的公理。希爾伯特公理系統的合同公理是：(1)如果A、B是直線a上的兩個點，A’是直線a'上的點，那麼在直線a'上點A'任意指定的一側，一定可以找到一個而且唯一的一個點B'，使得線段AB與線段A'B'合同；(2) 如果線段A'B'及A"B”都與同一條線段AB合同，那麼A'B'與A"B"合同；(3)設AB和BC是直線a上的兩個線段，沒有公共的內部點，再設A'B'和B'C'是直線a'上的兩條線段，也沒有公共的內部點；如果AB、BC分別與A'B'、B'C'合同，那麼AC也與A'C'合同；(4)如果在平面α上給了一個角∠(h,k)，在平面α'上給了直線a'，並且在平面α'上直線a'任意指定的一側，設h'是直線a'上的一條射線，那麼在平面α'上存在着唯一的一條射線k'，使得∠(h, k)合同於∠(h', k')；而且∠(h',k')的所有內部的點都在直線a'所指定的那一側；(5)如果△ABC與△A'B'C'之間。AB、AC、∠BAC分別與A'B'、A'C'、∠B'A'C'合同，那麼∠ABC、∠ACB分別與∠A'B'C'、∠A'C'B'合同。 合同公理解決了圖形的運動問題
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- 中文名
- 合同公理
- 外文名
- axiom of congruence
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 高等幾何(幾何基礎)
- 簡 介
- 希爾伯特公理體系中的第Ⅲ組公理
- 別 名
- “全合公理”
合同公理公理介紹
合同公理是是希爾伯特公理體系中的第Ⅲ組公理，包括以下五條
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1. 若A，B是直線a上的兩點，A′是同一或另一直線a′上的一點，則在a′上點A′的已知一側恆有一點B′，使線段AB合同於線段A′B′，記為AB≡A′B′。
2. 若兩線段(可以相同)，都合同於第三線段，則這兩線段也合同，即：若A′B′≡AB，A″B″≡AB，則有A′B′≡A″B″。
3.開線段(AB)，(BC)均在直線a上而無公共點，開線段(A′B′)，(B′C′)均在同一直線或另一直線a′上，亦無公共點，若AB≡A′B′，BC≡B′C′，則AC≡A′C′。
圖1 平面
4.已知平面α上的一角∠(h，k)，在平面α′上有一直線a′，並在α′上指定直線a′的一側，若在a′上有以O′為原點的一條射線h′，則在α′上恰有一射線k′，使∠(h，k)合同於∠(h′，k′)，且k′在a′的已知一側，記為：∠(h，k)≡∠(h′，k′).對任何∠(h，k)，有∠(h，k)≡∠(h，k)且∠(h，k)≡∠(k，h)(如圖1)。
5.對於兩個三角形ABC和A′B′C′，若AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，則∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′(如圖2)。
圖2 平面
合同公理合同公理的推論
這個定理是公理5和公理4的末一部分的推論。
定理2(三角形的合同定理一)若兩個三角形ABC和A'B'C'有下列合同式AB≡A'B'，AC≡A'C'，∠A≡∠A'，則三角形ABC就合同於三角形A'B'C'。
定理3 (三角形的合周定理二)若兩個三角形ABC和A'B'C'有下列合同式AB≡A'B'，∠A≡∠A'，∠B≡∠B'，則三角形ABC就合同於三角形A'B'C'。
定理4 若∠ABC合同於∠A'B'C'，則∠ABC的鄰補角∠CBD也合同於∠A'B'C'的鄰補角∠C'B'D'。
定理5 設h,k和l是一平面α上的、從一點O起始的三條射線(圖3)，而且h', k”和l'是一平面α'上的、從一點O'起始的三條射線，又設h和k在l的同側或異側時，h'和k'也分別在l'的同側或異側。這時若∠(h,l)≡∠(h',l')和∠(k,l)≡∠(k’,l)，則∠(h,k)≡∠(h',k')
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圖3 平面
定理6 設平面α上的∠(h,k)合同於平面α'上的∠(h',k)，而且l是平面α上的、從角∠(h,k)的頂點起始的、在這角內的一條射線。 這時平面α'上恆恰有一條從∠(h',k')的頂點起始的在∠(h',k)內的射線l’，使∠(h,l)≡∠(h',l')和∠(k,l)≡∠(k',l')。
為了要得到合同定理三和角的合同的對稱性，我們先從定理5導出下述定理:
定理7 若兩點Z1和Z2在直線XY的異側， 而且XZ1≡XZ2和YZ1≡YZ2，則∠XYZ1≡∠XYZ2。
定理8(三角形的合同定理三)若兩個三角形ABC和A'B'C'的每對對應邊合同，則這兩個三角形就合同。
定理9若兩個角∠(h'，k')和∠(h''，k'')，都合同於第三個角∠(h,k)，則∠(h'，k')也合同於∠(h''，k'')。
定理10 設給定了任意兩個角∠(h,k)和∠(h',l')，設遷移∠(h,k)到沿着h’，而且在h'的l'側時，所得到的射線是l，又遷移∠(h',l')到沿着h，而且在h的k側時，所得到的射線是l，這時，若k’在∠(h',l')內，則l在∠(h,k)外。其逆也成立(圖4)。
圖4 任意兩個角
定理11所有的直角都互相合同。
定理12 (外角定理)在三角形中一個外角，大於其任一不相鄰的內角。
下列諸定理是外角定理的重要推論。
定理13 在三角形中，長邊所對的角大於短邊所對的角。
定理14 若三角形有兩角合同，則有兩邊合同。
這是定理1的逆定理，也是定理13的直接推論。
從定理12還能很簡單地證得下述的、三角形的合同定理二的補充。
定理15 若兩個三角形ABC和A'B'C'有下列合同式AB≡A'B'，∠A≡∠A'，∠C≡∠C'，則這兩個三角形就合同。
定理16 每一線段都能二等分。
定理17 設有兩個合同的點列，A, B, ..., K,L和A',B', ...,K', L',其中第一個中的點的順序如下: B在A和C,或D,...,或K,或L之間，而且C在A,或B,和D,...,或K,或L之間，等等，則第二個點列中的點也有同樣的順序；那就是説,B'在A'和C'或D',...,或K', 或L'之間，而且C'在A',或B'和D', ..., 或K',或L'之間，等等。
定理18 設(A,B, C,..,L)和(A', B', C',...,L')是兩個合同的平面圖形。若P是第一個圖形的平面上的一點，則第二個圖形的平面上恆有一點P'存在，使(A, B, C,...,L,P)和(A',B',C' ,...,L',P') 還是合同的圖形。若圖形(A,B,C,..,L)至少含有不在同一條直線上的三點，則P'只有一個可能的作法。
定理19 設(A, B,C,...,L)和(A', B', C',...,L')是兩個合同的圖形。若P是任意一點,則恆有一點P'存在，使圖形(A, B, C,...,L,P) 和(A, B,C, ...,L',P') 合同。若圖形(A,B,C,...,L)至少含有不在同一平面上的四點，則P'只有一個可能的作法。
定理19説出了下述的重要事實：所有關於合同的空間事實，因此，空間中運動的性質，都是上述的直線的和平面的五條合同公理(結合着第一組和第二組公理)的推論。
