尖錐術

1845年前後，李善蘭在嘉興陸費家設館授徒，得以與江浙一帶的學者（主要是數學家）顧觀光（1799—1862）、張文虎（1808—1885）、汪曰楨（1813—1881）等人相識，他們經常在一起討論數學問題。此間，李善蘭有關於“尖錐術”的著作《方圓闡幽》、《弧矢啓秘》、《對數探源》等問世。 ^[1] 

李善蘭的尖錐術，可以説是具有中國傳統數學特色的解析幾何和微積分。由於清政府長期奉行閉關自守政策，包括微積分學在內的西方近代科學一直未能傳入中國。當時的中國數學界，除了見到零星幾個由傳教士帶進來的三角函數無窮級數表達式和對數計算方法之外，其餘則一概不知。就是這些公式和方法，也只有結論，沒有推導的過程和計算的原理。

在這種情況下，李善蘭異軍突起，獨闢蹊徑，通過自己的刻苦鑽研，在中國傳統數學中垛積術和無窮小極限方法的基礎上，發明尖錐術，不僅創立了二次平方根的冪級數展開式，各種鋭角三角函數、反三角函數和對數函數的冪級數展開式，而且還具備了解析幾何思想和一些重要定積分公式的雛形。 ^[1] 

特別值得一提的是李善蘭的對數論，它建立在尖錐術的基礎上，獨具特色，受到了中外學者的一致讚譽。 ^[2]  偉烈亞力（A.Wylie，1815—1887）説：“李善蘭的對數論，使用了具有獨創性的一連串方法，達到了如同聖文森特的J.格雷戈裏（Gregory，1638—1675）發明雙曲線求積法時同樣漂亮的結果。”。“倘若李善蘭生於J.納皮爾（Napier，1550—1617）、H.布里格斯（Briggs，1556—1631）之時，則只此一端即可名聞於世。”顧觀光發覺李善蘭求對數的方法比傳教士帶進來的方法簡捷、高明，認為這是洋人“故為委曲繁重之算法以惑人視聽”，因而大力表彰“中土李（善蘭）、戴（煦）諸公又能入其室而發其藏”，大聲疾呼“以告中土之受欺而不悟者”。 ^[3] 

在李善蘭尖錐術的基礎上，解析幾何思想和微積分方法的萌芽，是可以生根長葉、開花結果的。從這個意義上説，中國數學也可能以自己特殊的方式走上近代數學的道路。只是幾年以後，到了1852年，李善蘭便接觸到了大量從西方傳進來的近代數學，並參與了把解析幾何和微積分介紹進中國的翻譯工作。從此，中國傳統數學逐漸匯入世界數學的發展洪流之中。 ^[4] 

尖錐術的基本理論概括在他的《方圓闡幽》裏的10個命題之中。命題1～4，有李善蘭的線面體循環之理；命題5～8，李善蘭創立的尖錐圖形，實際上是一種處理代數問題的幾何模型，其間有解析幾何思想的萌芽，尖錐求積術的算法相當於冪級數定積分公式；命題9、10，李善蘭用平面積來表示相當於定積分值的尖錐積，並由面積相加原理得到逐項積分公式的結果。進而，李善蘭把尖錐術理論用於求圓周率的無窮級數表達式，各種三角數和反三角函數的冪級數展開式以及對數的冪級數展開式。已出現了中國特色微積分思想的雛形。

李善蘭所創立的尖錐概念，是一種處理代數問題的幾何模型。它由互相垂直的底線、高線和凹向的尖錐曲線所組成，並且在考慮尖錐合積的問題時，也是使諸尖錐有共同方向上的底和高，這樣的底和高具有平面直角座標系中縱、橫兩個座標的作用。 ^[5] 

這種尖錐是由乘方數漸增漸迭而得，尖錐曲線是由隨同乘方數一起漸增漸迭的底線和高線所確定的點變動而成的軌跡。由於李善蘭把每一條尖錐曲線看作是無窮冪級數中相應的項，實際上他給出了直線（長方、平尖錐）、拋物線（立尖錐）、立方拋物線（二乘尖錐）……的方程。他的對數合尖錐還相當於給出了等軸雙曲線的方程。

李善蘭的尖錐求積術，實質上就是冪函數的定積分公式和逐項積分的運算法則。同時，李善蘭用這種積分的方法，配合還原（級數回求）、商除等代數運算方法，卓有成效地展開了許多超越函數的研究，這也是屬於微積分學早期階段的工作。

清初有兩位天算大師王錫闡（字寅旭，號曉庵，1628—1682）、梅文鼎（字定九，號勿庵，1633—1721），當時號稱“二庵”。蔣學堅説：“李先生算學為中外所共仰，國初王曉庵、梅勿庵二先生後，當首屈一指。”又有詩稱李善蘭“步算中西獨絕倫”、“王梅而後此傳人”、“二庵之後更推誰，小李將軍算法奇”。

① A.Wylie，Chinese Researches，Shanghai，1897。

②顧觀光：《算賸餘稿》卷下，《武陵山人遺書》，1883年。

③蔣學堅：《李壬叔先生〈則古昔齋遺詩〉跋》，《懷亭文錄》。