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立方拋物線

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立方拋物線(cubical parabola)方程為y=ax³（a≠0）的平面曲線，曲線關於原點對稱，原點為其拐點，x軸為拐點切線。當a>0時，曲線在第一象限上凹伸向無窮遠，在第三象限下凹伸向無窮遠；當a<0時，曲線為y=∣a∣x³關於y軸作對稱變換所得的曲線 [1]  。
中文名
立方拋物線
外文名
cubical parabola
所屬領域
數學幾何學
曲線特徵
關於原點對稱
定    義
方程為y=ax³（a≠0）的平面曲線

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 有關名詞簡介
  3. 3 幾何性質
  4. 4 與橫軸的交點

立方拋物線定義

在平面上一動點P到定軸Ox的距離
與該動點至定點O的連線
在定軸的射影
的立方之比為定值，那麼該動點的軌跡叫做立方拋物線，如圖1。亦即 [2] 
那麼，動點P運動的軌跡
，
，
，
，...，就是立方拋物線。
圖1 圖1

立方拋物線有關名詞簡介

圖二 圖二
圖3 圖3
①極軸：定軸Ox；
②極點：定軸上的定點O；
③動徑：動點至極點的距離
；
④動徑角：動徑與極軸的夾角θ；
⑤切線：同擺線切線定義，如PT;
⑥法線：過切點垂直於切線的直線，如PN; [2] 

立方拋物線幾何性質

①立方拋物線的直角座標方程： [2] 
由定義知
,令
,
,則有
上式化為極座標方程：
令
，則
代入直角座標方程得
所以
當
時，
則
被限制在
內(n為整數)；
當
時，
則
被限制在
內(n為整數)；
②過立方拋物線上任意一點的切線的斜率為：

立方拋物線與橫軸的交點

設曲線L: [3] 
其中，p為常數，此函數的圖象L稱為立方拋物線。
其次求出曲線L與橫座標軸的交點，即方程
的根。該方程有三個根
當p<0時，後兩個是虛根，沒有幾何意義；當p>0時，上式為三個不同的實根，這時曲線L與橫軸有三個交點；當p=0時，三個根重合為一個三重根x=0。 [3] 
參考資料
  • 1.    谷超豪．數學詞典：上海辭書出版社，1992年08月第1版：第191頁
  • 2.    姜康甫,吉星．幾何畫的原理和作法：上海科學技術出版社，1964年04月第2版：第279頁
  • 3.    （俄）龐特里亞金．數學分析：哈爾濱工業大學出版社，2014.04：第17頁