外爾羣

外爾羣(Weyl group)是作用在根系上的一種變換羣。設L為復半單李代數，h為L的嘉當子代數，Δ為根系，π為單根系。記Δ實線性生成h的對偶空間h之實線性子空間h_R，h_R中有反射：

其中α∈Δ，(x，y)為L之基靈型。於是{ω_α|α∈Δ}生成之羣稱為L的外爾羣。它是有限羣，且實際上由w_α1，w_α2，…，w_αl生成，其中π={α₁，α₂，…，α_l}為L的單根系。

一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。 ^[2] 

代數羣是具有某種拓撲結構的羣。代數羣理論是羣論與代數幾何學結合的產物，可以看成李羣理論的推廣或者同李羣理論平行的一個羣論分支。若G是代數閉域K上的代數簇，又具有羣的結構，且乘法運算G×G→G(這裏的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運算G→G都是簇的態射，則稱G為代數羣。若G作為簇是不可約的，則稱此代數羣是連通的。代數羣的閉子簇若同時也是個子羣，則稱為閉子羣，它仍是個代數羣。代數羣關於它的正規閉子羣的商羣也是個代數羣。例如，K上n級一般線性羣(K上n級非奇異矩陣全體所成的羣)GL(n，K)是代數羣;K上n次特殊線性羣(K上行列式1的n階矩陣全體所成的羣)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子羣。若代數羣G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數羣或線性代數羣。採用後一術語的理由是，這種羣都同構於某個GL(n，K)的閉子羣.若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的羣結構很簡單(都是阿貝爾羣)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數羣G，總可以惟一地找到一個正規的仿射閉子羣N，使G/N是阿貝爾簇。因此，代數羣理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數羣，並把仿射代數羣簡稱代數羣。代數羣及其表示理論與域論、多重線性代數、交換環論、代數幾何、李羣、李代數、有限單羣理論以及羣表示理論等數學分支都有十分密切的聯繫，是近年來代數學的一個相當活躍的分支。

幾何學研究的重要對象。即由變換構成的羣。設G是集合S的一一變換所構成的集合，若它滿足：

1.集合內任二變換之積仍屬於這集合；

2.集合內任一變換的逆變換仍屬於這集合，

則稱G為S的一個變換羣。例如，平面上正交變換的全體構成的變換羣稱為正交羣；平面上仿射變換的全體構成的變換羣稱為仿射羣。平面上射影變換的全體構成的變換羣稱為射影羣。在“埃爾朗根綱領”中，變換羣可用來對幾何學進行分類。

一組變換，對變換的乘積構成的羣。設G為M上的有限或無限個變換的集合，若滿足下面兩個條件：①集合G中任意兩個變換的乘積仍屬於G;②集合G中每一個變換必有其逆變換，而且這個逆變換也屬於G，則稱G為M上的一個變換羣。

例如，平移變換可以構成一個羣：平面上任意兩個平移變換的積仍是平移變換；每個平移變換都有逆變換，這個逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換。

用變換羣來研究對應的幾何學的觀點，是由德國數學家克萊茵首先提出來的。1872年，克萊茵在埃爾朗根大學的教授就職演講中，提出題為《關於近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換羣在幾何中的主導作用。他把到當時為止已發現的所有的幾何，統一在變換羣的觀點之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個變換羣之下研究圖形不變性質與不變量的一門科學。這種觀點突出了變換羣在研討幾何中的地位，為用近代數學方法研究幾何學開闢了道路，因此後來把它簡稱為《埃爾朗根綱領》。

按照變換羣的觀點，幾何學可以這樣分類：研究射影變換羣、仿射變換羣、相似變換羣、正交變換羣下不變性質和不變量的幾何學分別是射影幾何學、仿射幾何學、拋物幾何學、歐氏幾何學.正交變換羣也稱為運動羣，歐氏幾何學的主要內容就是研究運動羣下不變性質和不變量的幾何學.近代發展很快、應用越來越廣的一門學科——拓撲學，就是研究拓撲變換下不變性質和不變量的幾何學。 ^[3] 

半單李代數是一類重要的李代數。設L為域F上的李代數，R為L的根基。若R={0}，則L稱為半單李代數。在L是復李代數時，若L為有限維李代數，則在L中必存在半單子代數C，使得L=C+R為空間直和，其中R為L的根基，這個分解稱為列維分解，它不惟一.列維分解指出，要弄清楚一般李代數的結構，必須弄清楚可解李代數和半單李代數的結構。關於可解李代數，知道得甚少，但是復半單李代數的結構是非常清楚的。

研究李代數分解時常用的一類子代數。設L為域F上的李代數，若L的子代數h是極大冪零子代數，且它的正規化子N(h)={x∈L|[x，h]h}等於h自身，則稱它為L的嘉當子代數。當L為有限維復李代數時，嘉當子代數必存在，且對任意兩個嘉當子代數h₁和h₂，必存在L的內自同構σ，使得σ(h₁)=h₂，即h₁和h₂是共軛的。在實的情形下，這個性質不成立。當L為有限維實或復半單李代數時，嘉當子代數必為極大交換子代數。 ^[4]