代數羣

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足： ^[3] 

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

研究多項式方程組在仿射或射影空間裏的公共零點集合的幾何特性的數學分支學科.換言之，它是研究代數簇的.代數幾何與許多其他數學分支有着密切的聯繫.通常假設代數簇V中點的座標在某個固定域k中選取，k稱為V的基域.V為不可約(即V不能分解成兩個比它小的閉代數子簇的並)時，V上所有有理函數(即兩個多項式的商)全體也構成一個域，稱為V的有理函數域，它是k的一個有限生成擴域.通過這樣的一個對應關係，代數幾何可以看成是用幾何的語言和觀點來研究有限生成擴域.

代數幾何的基本問題就是代數簇的分類.包括雙有理分類與雙正則分類(即同構分類).若一個代數簇V₁到另一個代數簇V₂的映射誘導了函數域之間的同構，則稱該映射為雙有理映射.設有兩個代數簇V₁，V₂，若V₁中有一個稠密開集同構於V₂的一個稠密開集，則稱V₁，V₂是雙有理等價的.這等價於V₁和V₂的函數域之間的同構.按這個等價關係對代數簇進行分類就稱為雙有理分類.分類理論是這樣建立的：首先，找出代數簇的雙有理等價類;其次，在這個等價類中找到一個好對象的子集，如非奇異射影簇，對它們進行分類;第三步就是確定一個任意簇與這些好的對象相差多遠.因為任意特徵0的基域上的代數簇都雙有理等價於一個非奇異射影簇，所以為實現這三步，人們往往先找一組與非奇異射影簇對應的整數，稱為它的數值不變量.例如，在射影簇的情形，它的各階上同調空間的維數就都是數值不變量.然後試圖在所有具有相同的數值不變量的代數簇的集合上建立一個自然的代數結構，稱為它們的參量簇，使得當參量簇中的點在某個代數結構中變化時，對應的代數簇也在相應的代數結構中變化。只有代數曲線、一部分代數曲面以及少數特殊的高維代數簇有較完整的分類. ^[4] 

代數羣（Algebraic group）是具有某種拓撲結構的羣。代數羣理論是羣論與代數幾何學結合的產物，可以看成李羣理論的推廣或者同李羣理論平行的一個羣論分支。若G是代數閉域K上的代數簇，又具有羣的結構，且乘法運算G×G→G(這裏的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運算G→G都是簇的態射，則稱G為代數羣。若G作為簇是不可約的，則稱此代數羣是連通的。代數羣的閉子簇若同時也是個子羣，則稱為閉子羣，它仍是個代數羣。代數羣關於它的正規閉子羣的商羣也是個代數羣。例如，K上n級一般線性羣(K上n級非奇異矩陣全體所成的羣)GL(n，K)是代數羣；K上n次特殊線性羣(K上行列式1的n階矩陣全體所成的羣)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子羣。若代數羣G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數羣或線性代數羣。採用後一術語的理由是，這種羣都同構於某個GL(n，K)的閉子羣.若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的羣結構很簡單(都是阿貝爾羣)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數羣G，總可以惟一地找到一個正規的仿射閉子羣N，使G/N是阿貝爾簇。因此，代數羣理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數羣，並把仿射代數羣簡稱代數羣。代數羣及其表示理論與域論、多重線性代數、交換環論、代數幾何、李羣、李代數、有限單羣理論以及羣表示理論等數學分支都有十分密切的聯繫，是近年來代數學的一個相當活躍的分支。 ^[5] 

設G是一個代數簇，同時G又是一個羣，而且羣的運算是簇的態射，則稱G是一個代數羣。設G和G′是代數羣，G到G′羣同構同時也是簇同構稱為代數羣的同構。如果代數羣的代數簇是仿射代數簇，則稱代數羣為仿射代數羣。下面總是隻討論仿射代數羣。設k是一個代數閉域，A1=k，A1在(x，y)→x+y之下作成一個代數羣，記作G_a。k*=A1\{0} 在(x，y)→xy之下作成一個代數羣，記作G_m。域k上全體n×n可逆矩陣在乘法之下作成一個代數羣，稱為一般線性羣，記作GL(n，k)。一個代數羣的閉子羣仍然是一個代數羣。GL(l+1，k)中行列式為1的矩陣全體作成的羣稱為特殊線性羣 ，記作SL(l+1，k)。設J是k上l階矩陣

，GL (2l，k) 的滿足x′的方程：

的x的全體做成的羣稱為辛羣，記作Sp(2l，k)。如果Chark≠2，令

，GL(2l+1，k)中滿足x′sx=s的全體x做成的羣為特殊正交羣，記作SO(2l+1，k)，另一種特殊正交羣可以定義為：令

，由GL(2l，k)中所有滿足x′sx=s的x做成的羣，記作SO(2l，h)，它們稱為典型羣，分別記作A_l，C_l，B_l，Dl。設G是代數羣，只有一個不可約分支含G的單位元e。這個分支稱為G的恆等分支。它是G的有限指數的正規子羣，每個陪集作成G的一個不可約分支。G的每個有限指數的閉子羣必包含於恆等分支中。如果G就是G的恆等分支，則稱G是連通的。代數羣的態射是一個羣同態，同時又是簇的態射。態射φ：G→G′的核Kerφ是G的閉子羣，象Imφ是G′的閉子羣，dimG=dim Kerφ+dim Imφ。態射φ：G→GL(n，k)稱為G的一個有理表示。設G是一個代數羣，X是一個代數簇，φ：G×X→X是一個態射，滿足x₁(x₂y)=(x₁，x₂)y，ey=y，x₁，x₂∈G，y∈X，則稱是G在X上的一個作用。設G是一個代數羣，G上的左不變導子作成一個李代數，稱為G的李代數，記作L(G)。設H是羣G的閉子羣，在齊次空間G/H上可以構造出一個簇的結構，若H是G的閉正規子羣，則G/H也是一個代數羣，維數大於0的連通的代數羣G，如果除了 {e}以外，沒有別的閉的連通的正規阿貝爾子羣，則稱G是半單的 (Chark=0)，GL(n，k)中由對角矩陣的全體做成的羣稱為對角羣，記作D(n，k)，如果G同構於D(n，k)的某個閉子羣，則稱G是可對角化的。一個代數羣稱為一個環面，如果它同構於某個D(n，k)。代數羣G的極大閉連通可解子羣稱為G的波雷爾子羣。設H是代數G的閉子羣，令N_G(H)= {x∈G|xhx-∈H，h∈H}，CG(H)= {x∈G|xhx=h， h∈H}，則N_G(H)和C_G(H)是G的閉子羣，稱為H在G中的正規化子和中心化子。設T是G的一個極大環面，有限羣NG (T)/C_G(T)稱為G的外爾羣。 ^[6]