三分損益法

今天的人們都知道，樂音的音高，是由波長所決定的，而波長又由弦長所決定。如果一個音的波長為a ；另一個音的波長是a/2 的話，那麼，後一個聲音就是前一個聲音的“純八度”高音。同理，如果一個聲音的波長為a ，另一個聲音的波長為a的兩倍，即2a，那麼，後一個聲音就是前一個聲音的“純八度”低音。

中國古人雖然不懂得機械波的物理學理論，但是他們卻總結出了跟現代發聲理論完全一致的道理。一件圓徑固定，長度固定的發聲器所發出的聲音是一個定值，如果另一件圓徑相同發聲器的長度是這件發聲器長度的一半的話，那麼，另一件發聲器所發出的聲音，就是一個純八度的高音。同理，如果另一件發聲器的長度是原來發聲器長度的二倍，那麼，另一件發聲器所發出的聲音，就是一個純八度的低音。　中國古人所使用的音階是“五聲音階”，即“宮商角 徵羽”五個音。其中，宮相當於西洋音階的1（do），商相當於2（re），角相當於3（mi）， 徵相當於5（sol），羽相當於6（la）。

在中國古代的音樂理論中，“宮商角 徵羽”這五個音階，相互之間的關係是怎樣的呢？換言之，它們又都是怎樣先後產生的呢？中國古代關於這個內容的律學理論，叫做“三分損益法”。“三分損益法”認為，“宮”是基本音，有了基本音“宮”之後，經過幾次的“三分損益”，其它的四個音階也就產生了。最遲到春秋中期，古代音樂理論“三分損益法”就已經形成了。在《國語》中，在《管子·地員篇》裏，在《呂氏春秋·音律篇》中，分別記述了“三分損益法”的一些內容。《史記·律書》和《漢書·律曆志》中的理論，基本上是抄錄《管子》、《呂氏春秋》以及《淮南子》中的相關內容。

三分損益法的記載最早見於春秋時期《管子·地員篇》，是同關於宮、徵、商、羽、角五音的記載聯繫在一起的；到《呂氏春秋·音律篇》，又開始與關於黃鐘、林鐘等十二律長度規範的記載聯繫在一起。按三分損益法生律的次序 ， 求上方五度音之律 ， 古代稱為“下生”；求下方四度之律，古代稱為“上生”。從一律出發，下生5次，上生6次，便可得出十二律。但《呂氏春秋》只有生律方法而無具體數據，《淮南子》後者延續這個方法並計算了十二音的數據。然而這些數據於生律方法不盡相符。通過分析，可以解釋《淮南子》中所呈現的這個矛盾，其實更符合書中所闡釋的哲學觀。過去學界認為在自先秦以來浩繁的樂律學文獻中，這組數據是個孤例，1985年發現的天水放馬灘秦簡，則不僅為淮南律數提供了更早的源頭，也反映了當時人們已經擁有的樂律學認識 ^[2]  。

三分損益包含“三分損一”、“三分益一”兩層含義。三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份，即：原有長度×(3-1)/3=生得長度；而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份，即：原有長度×(3+1)/3=生得長度。兩種方法可以交替運用、連續運用，各音律就得以輾轉相生。

這兩種生律方法所形成的長度關係、音程關係及其古代稱呼，三分損益法與古希臘畢達哥拉所用的定律法，阿拉伯人所用的“量音學”，在數理上是相通的、一致的，近現代統稱之為“五度相生法”。

“三分損益法”的基本原理是：

以一段圓徑絕對均勻的發聲管為基數——宮（1）；然後，將此發聲管均分成三段，捨棄其中的一段保留二段，這就是“三分損一”，餘下來的三分之二長度的發聲管所發出的聲音，就是“宮”的純五度高音—— 徵（5）；將 徵管均分成三份，再加上一份，即 徵管長度的三分之四，這就是“三分益一”，於是就產生了 徵的純四度低音——商（2）；商管保留三分之二，“三分損一”，於是得出商的純五度高音——羽（6）；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的長度，就是角管，角管發出羽的純四度低音——角（3）。

這樣，在有了基本音“宮”之後，經過兩次“三分損一”和兩次“三分益一”，“宮、商、角、 徵、羽”五個音階就生成了。宮生 徵， 徵生商，商生羽，羽生角，由於是“五五相生”，因此，樂律家們説起五個音階來，他們不説“宮、商、角、 徵、羽”，而是説成“宮、 徵、商、羽、角”。

根據上述理論而得出的算式，應為：　計算先後程序 所合的音 算 式

（1） 宮 1×基本音（假設為81） =81

（2） 商 54×4/3 =72

（3） 角 48×4/3 =64

（4） 徵 81×2/3 =54

（5） 羽 72×2/3 =48

它們的實際比數是：

宮 商 角 徵 羽

81 72 64 54 48

記載中，管仲實際只相生出了宮、商、角、徵、羽五個音。繼管仲之後，《呂氏春秋》的“音律篇”在管仲五音的基礎上又繼續相生了11次，也就是相生到“清黃鐘”，使十二律的相生得到完成。但當相生到第11次（即到十二律）後的“清黃鐘”時，“清黃鐘”不能回到原出發律上，使十二律不能週而復始，這一問題沒有得到解決。在此後的近二千年中，我國曆代都有一批有識之士對這一律學問題進行了不懈地探索，“三分損益法”在各個時期都有不同的解決辦法，我們當在不同時期進行介紹。

中國明代音樂家朱載堉於萬曆十二年（1584年）首次提出“新法密率”（見《律呂精義》、《樂律全書》），推算出以比率

將八度音等分為十二等分的算法，並製造出十二平均律律管及律準，是世界上最早的十二平均律樂器。這一問題才得到解決。

“三分損益法”每製出新的律管與原律管的音高都是上方五度，再下方四度，又上方五度，再下方四度……的關係，但需要再按音高次序調整排列，才能得出十二律，所以它又叫“五度相生律”，亦有稱之為“五度相生法”。《管子·地員篇》中的相生方法是先“益”後“損”。

“三分損益法”理論是世界上最早制定的“十二律”的理論，比古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯的“律制”要早一個世紀左右。

古人使用“三分損益法”，在生成“宮、 徵、商、羽、角”五個音階之後，並沒有停止下來，而是繼續“損益”下去。“三分損一”，“三分益一”……在連續進行了各六次之後，共得出十二個音，就是我們音樂上所使用的一個八度之內的十二個半音。中國古人將這十二個半音音階稱為“十二律”，它們的名稱分別是：

黃鐘（C），林鐘（G），太簇（D），南呂（A），姑冼（E），應鐘（B），蕤賓（#F），大呂（#C），夷則（#G），夾鍾（#D），無射（#A），仲呂（F）。 ^[3] 

對這十二律再加以區分，分出了六個陽律和六個陰律，六個陽律稱為“律”，六個陰律稱為“呂”。黃鐘與“三分益一”產生的為陽，六陽律即“律”包括“黃鐘、太簇、姑洗、蕤賓、夷則、亡射”；用“三分損一法”產生的六陰律為“呂”，“六呂”包括“林鐘、南呂、應鐘、大呂、夾鍾、中呂”。

最早見於公元前7世紀齊國丞相管仲《管子·地員》篇中，該書相傳為春秋時管仲（約前730—前645）所著。地員是一篇研究土壤的論文，他依據2/3弦是全弦五度音的原理，在一定張力的弦上連續按2/3（損益）4/3（溢益）地方法生出上五度下四度各音，直到生出12律，這種方法為三分損益法，這種律為三分損益率。

《管子·地員》第五十八篇

“凡聽徵，如負豬豕覺而駭。凡聽羽，如鳴馬在野。凡聽宮，如牛鳴窌中。凡聽商，如離羣羊。凡聽角，如雉登木以鳴。凡將起五音凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足，以是生商。有三分，而復於其所，以是成羽。有三分，去其乘，適足，以是成角。”