三角形五心定律

三角形的三條邊的中線交於一點，該點叫做三角形的重心。

重心的性質：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。

2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均數，即其重心座標為

5. 以重心為起點，以三角形三頂點為終點的三條向量之和等於零向量。

三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。

外心的性質：

1、三角形的三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為該三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為鋭角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。

3、當三角形為鋭角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。

4、外心到三頂點的距離相等

三角形的三條高（所在直線）交於一點，該點叫做三角形的垂心。

垂心的性質：

1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））（除正三角形）

3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。

4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等

三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。

內心的性質：

1、三角形的三條內角平分線交於一點。該點即為三角形的內心。

2、直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。

3、P為ΔABC所在空間中任意一點，點0是ΔABC內心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O為三角形的內心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊於N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

5、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OI^2=R^2-2Rr．

6、（內角平分線分三邊長度關係）

△ABC中，0為內心，∠A 、∠B、 ∠C的內角平分線分別交BC、AC、AB於Q、P、R，　則BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

7、內心到三角形三邊距離相等。

三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。

旁心的性質：

1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。

2、每個三角形都有三個旁心。

3、旁心到三邊的距離相等。

點M就是△ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。

三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。