重心

已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交於O，CO延長線交AB於F。求證：F為AB中點。

證明1：燕尾定理：S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，

再應用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

證明2：塞瓦定理：如圖1，在△ABC中，AD、BE、CF是中線，則AF=FB，BD=DC，CE=EA。

∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1 ∴AD、BE、CF交於一點

即三角形的三條中線交於一點 ^[1]  。

重心的幾條性質 ^[2]  ：

1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4.在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均。

5.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。

6.三角形ABC的重心為G，點P為其內部任意一點，則3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。

7.在三角形ABC中，過重心G的直線交AB、AC所在直線分別於P、Q，則 AB/AP+AC/AQ=3

8.從三角形ABC的三個頂點分別向以他們的對邊為直徑的圓作切線，所得的6個切點為Pi，則Pi均在以重心G為圓心，

為半徑的圓周上 ^[4]  。

9、G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

對於均質物體，如在幾何形體上具有對稱面、對稱軸或對稱中心，則該物體的重心或形心必在此對稱面、對稱軸或對稱中心上。下面介紹幾種常用的確定重心位置的方法 ^[1]  。

工程中有些形體雖然比較複雜，但往往是由一些簡單形體的組合，這些形體的重心通常是已知的或易求的。

如果在規則形體上切去一部分，例如鑽一個孔等，則在求這類形體的重心時，可以認為原形體是完整的，只是把切去的部分視為負值（負體積或負面積）。

如物體的形狀不是由基本形體組成，過於複雜或質量分佈不均勻，其重心常用實驗方法來確定。主要包括懸掛法和稱重法。

⑴求線段長

例1　如圖2所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，點D是斜邊AB的中點，當G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC於點E，若BC=6cm，則GE的長度 ^[3]  。

解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=2BC=12，

D是斜邊AB的中點，∴CD=1/2AB=6，

G是Rt△ABC的重心，∴CG=2/3CD=4，

由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°。

Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=1/2CG=2（cm）

⑵求面積

例2　在△ABC中，中線AD、BE相交於點O，如圖3，若△BOD的面積等於5，求△ABC的面積 ^[3]  。

解：∵O是△ABC的重心，∴AO∶OD=2∶1，

∴S_△AOB∶S_△BOD=2∶1， 即S_△AOB=2 S_△BOD=10，

∴S_△ABD= S_△AOB+ S_△BOD=10+5=15，

又∵AD是△ABC的中線， S_△ABC=2 S_△ABD=30。

重心在工程中具有重要的意義。例如，水壩的重心位置關係到壩體在水壓力作用下能否維持平衡；飛機的重心位置設計不當就不能安全穩定地飛行；構件截面的重心（形心）位置將影響構件在載荷作用下的內力分佈規律，與構件受力後能否安全工作有着緊密的聯繫。總之，重心與物體的平衡、物體的運動以及構件的內力分佈是密切相關的。