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旁心
鎖定
旁心,
三角形五心之一(其他四個為
內心、
外心、
重心和
垂心)。旁心是三角形的
旁切圓(與三角形的一邊和其他兩邊的延長線
相切的圓)的圓心
[1]
。它是三角形一個內角的平分線和其他兩個內角的外角平分線的交點,每個三角形有三個旁心
[2]
。
- 中文名
-
旁心
- 外文名
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escenter
- 所屬學科
-
數學
- 定 義
-
三角形的旁切圓的圓心
旁心定義
圖1
與
三角形的一邊外側
相切,又與另兩邊的延長線相切的圓叫做三角形的旁切圓,如圖1所示,一個三角形有三個旁切圓,旁切圓的
圓心簡稱為三角形的旁心。
[3]
旁心性質
記
的三邊BC、CA、AB的邊長分別為a、b、c,令
分別與BC、CA、AB外側相切的旁切圓圓心記為
,其半徑記為
,
表示△ABC的面積,R、r分別為
的外接圓半徑與內切圓
半徑。
[3]
性質1 三角形的旁心是其一內角的平分線(所在直線)和其他兩角的外角平分線的交點,每一個旁心到三邊的距離相等。
性質2 三角形的三個旁心與內心構成一
垂心組,反過來.一個三角形的
頂點與
垂心是高的垂足三角形的旁心與
內心。
[3]
性質3 (對於頂角B,C也有類似的式子,略)。
[3]
性質4
性質5
性質6
性質7 設
、
、
分別切
的邊BC、CA、AB於P、Q、R,
內切圓 分別切BC、CA、AB於K、S、T,則BP=AQ=CK=p-c,PC=AR=BK=p-b,BR=CQ=AT=p-a。
[3]
性質8 設
的連線交
的
外接圓於D,則
(對於
也有同樣的結論,略)。
性質9
性質10 一個旁心與三角形三條邊的端點連結所組成的3個三角形面積之比等於原三角形三條邊長之比;三個旁心與三角形的一條邊的端點連結所組成的三角形面積之比等三個旁切圓半徑之比。
[3]
性質11 過旁心
的直線交AB,AC所在直線分別於P、Q,則
性質12 的
內切圓 分別切邊BC、CA、AB於點D、E、F,直線AI交內切圓於點P、Q,則P、Q分別為
的
內心與旁心。
[3]
旁心典型例題與基本方法
例1 如圖 2,在凸四邊形ABCD中,AD不平行於BC,從A點引內、外角平分線與從B點所引內、外
角平分線相交於K,L;又從C點引內、外角平分線與從D點引內、外角平分線相交於P、Q。求證:K、L、P、Q四點共線。
圖2
證明 由AD不平行於BC,則可知AD,BC的延長線必相交,設交點為E,就△ABE來看,K為其旁心,L為其內心,因此,K、L、E三點共∠ AEB 的角平分線,就△CDE來看,P是其旁心,Q是其內心,因此,P、Q、E三點共∠DEC的角平分線,故知K、L、P、Q共線於∠AEB的角平分線。
[3]
例2 如圖3,設
是△ABC的邊BC外側相切的旁切圓,D、E、F分別是
與BC、CA、AB所在直線的切點,若OD與EF相交於K,求證:AK平分BC。
圖3
證明 過K作BC的
平行線分別交AB、AC於N、M,連OE、OF、OM、ON。
由K、O、E、M四點共圓;O、K、F、N四點共圓,有∠OME=∠OKE=∠ONF,而OE=OF,且∠OEM=∠OFN=90°,故Rt∆OEM≌Rt∆OFN,從而OM=ON。
在等腰△OMN中,OK為底邊MN上的高,從而NK=KM,即K為MN的
中點,而BC//NM,故知AK平分BC。
注此例中的旁切圓換成內切圓,有同樣的結論,也可用同樣的證法來證。
[3]
- 參考資料
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1.
阮智富,郭忠新.現代漢語大詞典·下冊:上海辭書出版社,2009.12
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2.
薛小龍,鄭碧霞主編.初中數學的探究性課題:上海教育出版社,2016.10:第148頁
-
3.
沈文選,張垚,冷崗松.奧林匹克數學中的幾何問題:湖南師範大學出版社,2015.01