Z變換

Z變換（Z-transformation）可將時域信號（即離散時間序列）變換為在複頻域的表達式。它在離散時間信號處理中的地位，如同拉普拉斯變換在連續時間信號處理中的地位。離散時間信號的Z變換是分析線性時不變離散時間系統問題的重要工具，把線性移（時）不變離散系統的時域數學模型——差分方程轉換為Z域的代數方程，使離散系統的分析同樣得以簡化，還可以利用系統函數來分析系統的時域特性、頻率響應及穩定性等。 ^[3] 

Z變換具有許多重要的特性：如線性、時移性、微分性、序列卷積特性和復卷積定理等等。這些性質在解決信號處理問題時都具有重要的作用。其中最具有典型意義的是卷積特性。由於信號處理的任務是將輸入信號序列經過某個（或一系列各種）系統的處理後輸出所需要的信號序列，因此，首要的問題是如何由輸入信號和所使用的系統的特性求得輸出信號。通過理論分析可知，若直接在時域中求解，則由於輸出信號序列等於輸入信號序列與所用系統的單位抽樣響應序列的卷積和，故為求輸出信號，必須進行繁瑣的求卷積和的運算。而利用Z變換的卷積特性則可將這一過程大大簡化。只要先分別求出輸入信號序列及系統的單位抽樣響應序列的Z變換，然後再求出二者乘積的反變換即可得到輸出信號序列。這裏的反變換即逆Z變換，是由信號序列的Z變換反回去求原信號序列的變換方式。 ^[4] 

當前，已有現成的與拉氏變換表類似的Z表。對於一般的信號序列，均可以由表上直接查出其Z變換。相應地，當然也可由信號序列的Z變換查出原信號序列，從而使求取信號序列的Z變換較為簡便易行。 ^[4] 

在變換理論的研究方面，霍爾維茲（W. Hurewicz）於1947年邁出了第一步，他首先引進了一個變換用於對離散序列的處理。在此基礎上，崔普金於1949年、拉格茲尼和扎德（R.Ragazzini和LA. Zadeh）於1952年，分別提出和定義了Z變換方法，大大簡化了運算步驟，並在此基礎上發展起脈衝控制系統理論。 ^[5] 

由於Z變換隻能反映脈衝系統在採樣點的運動規律，崔普金、巴克爾（R.H. Barker）和朱利（EIJury）又分別於1950年、1951年和1956年提出了廣義Z變換和修正Z變換（modified Z-transformation）的方法。 ^[5] 

稱為X（z）的收斂域。 ^[3] 

稱為X（z）的收斂域。 ^[3] 

雙邊Z變換與單邊Z變換的關係： ^[3] 

^[3] 

式中 ^[3] 

可見，因果序列的單邊Z變換與雙邊Z變換的結果相同。由於單邊Z變換的求和下限為n=0，所以任一有界序列x（n）（因果或非因果序列）的單邊Z變換等於因果序列x（n）E（n）的雙邊Z變換。雙邊Z變換的求和範圍為n=-∞到∞，單邊Z變換的求和範圍為n=0到∞。 ^[3] 

由於單邊Z變換可以考慮到初始條件，所以用於在已知系統的初始狀態以及序列的初始條件時求取系統的瞬態響應，既可以求零輸入響應，又可以求零狀態響應。 ^[3] 

根據Z變換的定義可知，Z變換收斂的充要條件是它滿足絕對可和條件，即： ^[3] 

（單邊Z變換） ^[3] 

（雙邊Z變換） ^[3] 

在z平面上使上式成立的z的取值範圍Rx稱為任意給定的有界序列x（n）的Z變換X（z）的收斂域。 ^[3] 

不同序列的雙邊Z變換的收斂域如下表所示。 ^[3] 

Z變換的基本性質如表1所示： ^[3] 

常用序列的Z變換如圖5和圖6： ^[3] 

逆Z變換的定義式為： ^[3] 

式中n=...-2，-1，0，1，2...。若已知X（z）及其收斂域，則可以求出其Z逆變換。 ^[3] 

求解逆Z變換的計算： ^[3] 

因為

，按Z變換的定義，X（z）可寫成 ^[4] 

上式的Z變換可以看作為序列x（n）乘以指數序列r^（-n）後的傅里葉變換。 ^[4] 

在單位圓|z|=1上，r=1，使上式變成： ^[4] 

所以序列在單位圓上的z變換即為序列的頻譜，頻譜與z變換是一種符號代換，單位圓上的z變換即為序列的傅里葉變換。 ^[4]