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黑塞矩陣

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黑塞矩陣（Hessian Matrix），又譯作海森矩陣、海瑟矩陣、海塞矩陣等，是一個多元函數的二階偏導數構成的方陣，描述了函數的局部曲率。黑塞矩陣最早於19世紀由德國數學家Ludwig Otto Hesse提出，並以其名字命名。黑塞矩陣常用於牛頓法解決優化問題，利用黑塞矩陣可判定多元函數的極值問題。在工程實際問題的優化設計中，所列的目標函數往往很複雜，為了使問題簡化，常常將目標函數在某點鄰域展開成泰勒多項式來逼近原函數，此時函數在某點泰勒展開式的矩陣形式中會涉及到黑塞矩陣。
中文名
黑塞矩陣
外文名
Hessian Matrix
別    名
海森矩陣，二階導數矩陣
提出時間
19世紀
提出者
德國數學家Ludwig Otto Hesse
特    點
黑塞矩陣為對稱陣
應用學科
線性代數
運籌學
多元函數微分學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 對稱性
  3. 3 應用

黑塞矩陣定義

在工程實際問題的優化設計中，所列的目標函數往往很複雜，為了使問題簡化，常常將目標函數在某點鄰域展開成泰勒多項式來逼近原函數。
二元函數的黑塞矩陣
由高等數學知識可知，若一元函數
在
點的某個鄰域內具有任意階導數，則
在
點處的泰勒展開式為：
，其中
，
。
二元函數
在
點處的泰勒展開式為：
其中，
。
將上述展開式寫成矩陣形式，則有：
即：
其中：
是
在
點處的黑塞矩陣。它是由函數
在
點處的二階偏導數所組成的方陣。 [1] 
多元函數的黑塞矩陣
將二元函數的泰勒展開式推廣到多元函數，則
在
點處的泰勒展開式的矩陣形式為：
其中：
（1）
，它是
在
點處的梯度。
（2）
為函數
在
點處的黑塞矩陣。 [1] 
黑塞矩陣是由目標函數
在點X處的二階偏導數組成的
階對稱矩陣。 [2] 

黑塞矩陣對稱性

如果函數
在
區域內二階連續可導，那麼
黑塞矩陣
在
內為對稱矩陣。
原因：如果函數
的二階偏導數連續，則二階偏導數的求導順序沒有區別，即
則對於矩陣
，有
，所以
為對稱矩陣。

黑塞矩陣應用

定理
設n多元實函數
在點
的鄰域內有二階連續偏導，若有：
並且
則有如下結果：
（1）當A正定矩陣時，
在
處是極小值；
（2）當A負定矩陣時，
在
處是極大值；
（3）當A不定矩陣時，
不是極值點。
（4）當A為半正定矩陣或半負定矩陣時，
是“可疑”極值點，尚需要利用其他方法來判定。 [3] 
實例
求三元函數
的極值。
解：因為
，故該三元函數的駐點是
。
又因為
，
故有：
因為A是正定矩陣，故
是極小值點，且極小值
。 [3] 
參考資料
  • 1.    李志峯主編．機械優化設計．北京：高等教育出版社，2011：24-25
  • 2.    張鄂主編．機械與工程優化設計．北京：科學出版社，2008：24-25
  • 3.    西北工業大學線性代數編寫組編．線性代數．北京：科學出版社，2010：137-137