不定矩陣

在線性代數裏，正定矩陣是埃爾米特矩陣的一種，有時會簡稱為正定陣。在雙線性代數中，正定矩陣的性質類似複數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性算子是對稱正定雙線性形式（復域中則對應埃爾米特正定雙線性形式）。

一個n×n的實對稱矩陣

是正定的，當且僅當對於所有的非零實係數向量z，都有z^Tz>0。其中z^T表示z的轉置。

對於複數的情況，定義則為：一個n×n的埃爾米特矩陣(或厄米矩陣)是正定的當且僅當對於每個非零的復向量z，都有z^*z>0。其中z^*表示z的共軛轉置。由於是埃爾米特矩陣，經計算可知，對於任意的復向量z，z^*z必然是實數，從而可以與0比較大小。 ^[1] 

與正定矩陣相對應的，一個n×n的埃爾米特矩陣是負定矩陣當且僅當對所有不為零的（或），都有：

是半正定矩陣當且僅當對所有不為零的（或），都有：

是半負定矩陣當且僅當對所有不為零的（或），都有：

可以看出，上一節中正定陣的等價性質1只需略作相應改動，就可以變為判別負定矩陣、半正定矩陣和半負定矩陣的準則。注意當M是半正定時，相應的Gram矩陣不必由線性無關的向量組成。對任意矩陣，AA必然是半正定的，並有rank()=rank（AA，兩者的秩相等）。反過來，任意的半正定矩陣都可以寫作M=A^*A，這就是Cholesky分解。

一個埃爾米特矩陣M是負定矩陣當且僅當M的所有奇數階順序主子式小於0，所有偶數階順序主子式大於0。當M是負定矩陣時，M的逆矩陣也是負定的。

如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的，那麼稱其為不定矩陣。 ^[1] 

若

為半正定陣，可以寫作

。如果

是正定陣，可以寫作

。這個記法來自泛函分析，其中的正定陣定義了正算子。

對於一般的埃爾米特矩陣，

、

，

當且僅當

。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關係。類似地，可以定義

。

每個正定陣都是可逆的，它的逆也是正定陣。如果

那麼

。

如果

是正定陣，

為正實數，那麼

也是正定陣。 ^[1] 

一個實矩陣M可能滿足對所有的非零實向量x，x^TMx>0而並不是對稱矩陣。舉例來説，矩陣

就滿足這個條件。對

並且

，

一般來説，一個實係數矩陣M滿足對所有非零實向量x，有x^TMx>0，當且僅當對稱矩陣(M+M^T)/2是正定矩陣。

對於復係數矩陣，情況可能不太一樣。主要看的是怎樣擴展z^*Mz>0這一性質。要使z^*Mz總為實數，矩陣M必須是埃爾米特矩陣。因此，若z^*Mz總是正實數，M必然是正定的埃爾米特矩陣。如果將z^*Mz>0擴展為Re(z^*Mz)>0，則等價於（M+M^*）/2為正定陣。 ^[2]