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類氫原子

類氫原子是隻擁有一個電子的原子，與氫原子同為等電子體，例如，He+, Li2+, Be3+與B4+等等都是類氫原子，又稱為“類氫離子”。類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統，描述這類系統的（非相對論性的）薛定諤方程式有解析解。類氫原子的粗略結構只跟主量子數 n有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。

中文名: 類氫原子

外文名: hydrogen-like atom
別名: 類氫離子

類氫原子（hydrogen-like atom）是隻擁有一個電子的原子，與氫原子同為等電子體，例如，He⁺, Li²⁺, Be³⁺與B⁴⁺等等都是類氫原子，又稱為“類氫離子”。類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統，系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力。這反平方連心力二體系統不需再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛定諤方程式有解析解，也就是説，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛定諤方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。在量子力學裏，類氫原子問題是一個很簡單，很實用，而又有解析解的問題。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，類氫原子問題是個很重要的問題。

稱滿足上述系統的薛定諤方程式的波函數為單電子波函數，或類氫原子波函數。類氫原子波函數是單電子角動量算符 L 與其 z-軸分量算符 L_z的本徵函數。由於能量本徵值 E _n 跟量子數 l，m 無關，而只跟主量子數 n 有關。所以，類氫原子波函數可以由主量子數 n 、角量子數 l 、磁量子數 m獨特地決定。因為構造原理，還必須加上自旋量子數 m _s = ± 1 / 2。對於多電子原子，這原理限制了電子構型的四個量子數。對於類氫原子，所有簡併的軌域形成了一個電子層；每一個電子層都有其獨特的主量子數 n．這主量子數決定了電子層的能量。

除了氫原子（電中性）以外，類氫原子都是離子，都帶有正電荷量 e ( Z − 1 )；其中，e， Z 是原子序數。

類氫原子薛定諤方程

類氫原子問題的薛定諤方程式為^[1]

−ℏ²/(2μ) ∇²ψ+V(r)ψ=Eψ

其中，ℏ 是約化普朗克常數，μ是電子與原子核的約化質量，ψ是量子態的波函數，E是能量，V(r)是庫侖勢：

V(r)=−Ze²/(4πϵ₀r)

其中，ϵ₀是真空電容率，Z是原子序數，e 是單位電荷量，r是電子離原子核的距離。

採用球座標 (r,θ,ϕ)將拉普拉斯算子展開：

猜想這薛定諤方程式的波函數解 ψ(r,θ,ϕ)是徑向函數 R_nl(r) 與球諧函數 Y_lm(θ,ϕ)的乘積：

類氫原子角向部分

參數為天頂角和方位角的球諧函數，滿足角部分方程式

其中，非負整數 l是軌角動量的角量子數。磁量子數 m（滿足 −l≤m≤l ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）投影。不同的 l與 m給予不同的軌角動量函數解答 Y_lm：

其中，i是虛數單位，

是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

而

是 l階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

類氫原子徑向部分解答

徑向函數滿足一維薛定諤方程式：

方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢，其效應是將徑向距離拉遠一點。

除了量子數 ℓ 與 m以外，還有一個主量子數 n。為了滿足 R_nl(r) 的邊界條件，n必須是正值整數，能量也離散為能級

。隨著量子數的不同，函數 R_nl(r)與 Y_lm都會有對應的改變。按照慣例，規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函數可以表達為

其中，

。

近似於波耳半徑

。假若，原子核的質量是無限大的，則

，並且，約化質量等於電子的質量，

。

是廣義拉格耳多項式，定義為

其中，

是拉格耳多項式，可用羅德里格公式表示為

其中l<n 。

類氫原子自旋-軌道作用

電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用，這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，必須取代量子數 l、m與自旋的投影 m_s，而以量子數 j，m_j來計算總角動量。