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伴隨勒讓德多項式
鎖定
伴隨勒讓德多項式(Associated Legendre polynomials,又譯締合勒讓德多項式、連帶勒讓德多項式、關聯勒讓德多項式)是數學上對
常微分方程解函數序列的稱呼,在數學和
理論物理學中有重要的意義。
[1]
- 中文名
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伴隨勒讓德多項式
- 外文名
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Associated Legendre polynomials
- 分 類
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數學物理、微分方程
- 領 域
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數理科學
伴隨勒讓德多項式定義
該方程是在
球座標系下求解
拉普拉斯方程時得到的,因上述方程僅當
和
均為整數且滿足
時,才在區間 [−1, 1] 上有非奇異解,所以通常把
和
均為
整數時方程的解稱為
伴隨勒讓德多項式;把
和
為一般實數或複數時方程的解稱為廣義
勒讓德函數(generalized Legendre functions)。
注意當 m 為
奇數時,連帶勒讓德多項式並不是
多項式。
[2]
伴隨勒讓德多項式正交性
與勒讓德多項式一樣,伴隨勒讓德多項式在區間 [-1,1] 上也滿足正交性。
這是因為,與
勒讓德方程一樣,伴隨勒讓德方程也是施圖姆-劉維爾型的:
伴隨勒讓德多項式與勒讓德多項式的關係
伴隨勒讓德多項式可以由勒讓德多項式求m次導得到:
伴隨勒讓德多項式與超幾何函數的關係
注意 μ 為正整數 m 時 1-μ 是伽瑪函數的奇點,此時等號右邊的式子應該理解為當 μ 趨於 m 時的極限。
伴隨勒讓德多項式負數階連帶勒讓德多項式
顯然伴隨勒讓德方程在變換m→-m下保持不變,傳統上習慣定義負數階伴隨勒讓德多項式為:
容易驗證,這樣定義的伴隨勒讓德多項式能夠使得上面的正交關係可以推廣到 m 為負數的情況。
注意在個別文獻(如圖1)中會直接取
圖1 l=5時連帶勒讓德多項式的圖像
伴隨勒讓德多項式與球諧函數的關係
球諧函數是
球座標下三維空間
拉普拉斯方程的角度部分的解,構成一組完備的
基組,有着重要的意義。採用本文中定義的伴隨勒讓德多項式的表達式,球諧函數可以表達為:
由伴隨勒讓德多項式的正交關係可以直接得到球諧函數的正交關係:
- 參考資料
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1.
王一平, 陳逢時, 傅德民. 數學物理方法[M]. 電子工業出版社, 2006.
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2.
Szegö G. Inequalities for the zeros of Legendre polynomials and related functions[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1936, 39(1):1-17.