超幾何函數

當 c不是0,-1,-2...時，對於|z|<1，超幾何函數可用如下冪級數定義 ^[2] 

其中

是Pochhammer符號，定義為:

當a或b是0或負整數時級數只有有限項。

對於滿足|z|≥1 的複數z，超幾何函數可以通過將上述在單位圓內定義的函數沿着避開支點0和1的任意路徑做解析延拓來得到。

很多普通的數學函數可以用超幾何函數或它的極限表示出來，一些典型的例子如下：

合流超幾何函數（Kummer函數）可以用超幾何函數的極限表示如下

因此，所有合流超幾何函數的特例，例如貝塞爾函數都可以表示成超幾何函數的極限。

勒讓德函數是有3個正則奇點的二階線性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超幾何函數表示，例如

很多多項式，例如賈可比多項式P(α,β)

n及其特殊情形勒讓德多項式，車比雪夫多項式，Gegenbauer多項式都能用超幾何函數表示

其它特殊情形還包括Krawtchouk多項式，Meixner多項式，Meixner–Pollaczek多項式。

橢圓模函數有時能表示成參數a,b,c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超幾何函數之比的反函數。例如，若

則

是τ的橢圓模函數.

不完整的beta函數B_x(p,q) 表示成

完整的橢圓積分K和E如下給出

超幾何函數滿足的微分方程稱為超幾何方程，其形式為（參見廣義超幾何函數） ^[3] 

展開後，得

它有三個正則奇點：0, 1, ∞.

Pfaff 變換將正則奇點 1 和 ∞ 交換（也就是將李代數參數中的β與μ對換）：

由a,b的對稱性自然有：

Pfaff 變換可以導出 Euler 變換，它將李代數參數β變成 -β：

Pfaff 變換和 Euler 變換都是分式線性變換的例子，這得名於等式兩邊的超幾何函數的宗量的聯繫，參見莫比烏斯變換。

將上面提到的四個連接關係與 Pfaff 變換及 Euler 變換組合起來，就得到完整的 Kummer 表。

給定一組李代數參數(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其輪換對應着 24 個不同但彼此關聯的超幾何函數（F_α,β,μ恆等於F_α,β,-μ），利用前面提到的四個連接關係和 Pfaff 變換，它們中的任意一個可以通過任意另外兩個表出。

例如 Euler 變換可以表示為：

下面是一個二次變換的例子：

二次變換得名於等號兩邊超幾何函數宗量的聯繫（一個二次函數和一個莫比烏斯變換的組合）。

若一組李代數參數滿足下列條件：有兩個是 ±1/3，或者三個參數的絕對值相等，則有一個三次變換的公式將它與另一個超幾何函數聯繫起來。

另外有一些 4 次和 6 次變換的公式。其它次數的變換公式只有當參數取特定有理數值時存在。