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勒讓德函數

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在數學中，勒讓德函數Pλ，Qλ和相關的勒讓德函數Pλμ，Qλμ是勒讓德多項式與非整數度的泛化。
中文名
勒讓德函數
外文名
Legendre function
所屬學科
數學
實    質
勒讓德多項式與非整數度的泛化
字母表示
Pλ，Qλ
相關名詞
伽馬函數

目錄

  1. 1 簡介
  2. 2 微分方程
  3. 3 公式
  4. 4 積分表示
  5. 5 勒讓德功能為字符
  1. 6 勒讓德多項式
  2. ▪ 生成函數
  3. ▪ 正交關係
  4. 7 第一類勒讓德函數
  1. 8 第二類勒讓德函數

勒讓德函數簡介

在數學中，勒讓德函數Pλ，Qλ和相關的勒讓德函數Pλ，Qλ是勒讓德多項式與非整數度的泛化。 [1] 

勒讓德函數微分方程

相關的勒讓德函數是勒讓德方程的解
其中複數λ和μ分別稱為相關的勒讓德函數的度數和順序。 勒讓德多項式是階數μ= 0的勒讓德函數。
這是一個具有三個常規奇異點（在1，-1和∞）的二階線性方程。 像所有這樣的等式，它可以通過變量的變化被轉換為超幾何微分方程，並且其解可以用超幾何函數來表示。 [2] 

勒讓德函數公式

這些功能實際上可以用於一般複雜參數和參數：
分母中包含伽馬函數，2F1是超幾何函數。
二階微分方程具有第二個解，其定義為Qμλ（z）。
勒讓德P和Q函數之間有用的關係是Whipple的公式。 [3] 

勒讓德函數積分表示

勒讓德函數可以寫成輪廓積分。 例如，
其中輪廓沿正方向繞着點1和z旋轉，並且不繞-1。 對於真正的x，我們有 [4] 

勒讓德函數勒讓德功能為字符

Ps的真實積分表示在L1（G / / K）其中 G // K是SL（2，R）的雙陪集空間（見區域球面 功能）。 實際上，L（G / / K）上的傅里葉變換由
其中，

勒讓德函數勒讓德多項式

勒讓德多項式是下列勒讓德微分方程的多項式解：
其中n 為正整數。

勒讓德函數生成函數

勒讓德多項式的生成函數為
前幾個勒讓德多項式：

勒讓德函數正交關係

勒讓德多項式在（-1,1）取決滿足如下的正交關係式：

勒讓德函數第一類勒讓德函數

其中F為超幾何函數，v非整數。如v為整數，則解為勒讓德多項式
第一類勒讓德函數2D圖 第一類勒讓德函數2D圖
第一類勒讓德函數3D圖 第一類勒讓德函數3D圖

勒讓德函數第二類勒讓德函數

第二類勒讓德函數2D圖 第二類勒讓德函數2D圖
第二類勒讓德函數3D 圖 第二類勒讓德函數3D 圖
參考資料
  • 1.    Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 8". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 332. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  • 2.    Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1, New York: Interscience Publisher, Inc.
  • 3.    Dunster, T. M. (2010), "Legendre and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248
  • 4.    Ivanov, A.B. (2001) [1994], "L/l058030", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4