正則奇點

考慮線性微分方程組

自變量 x 取自複數域 D，

是 n 維復的列向量，

是以 x 的復解析函數為元素的 n 階方陣。由於通過平移

和自變量變化

可以分別將 x=a和

變到零點，所以不妨僅考慮

點的奇異性。

對於上面方程的解 y(x) ，對於給定的任意角範圍

，如果存在一個正數 r 使得

，那麼就稱 x=0 為方程的正則奇點，如果 x=0為方程的某個解的非正則奇點，那麼就稱 x=0 為方程的非正則奇點(irregrlar singular point)。

對於二階齊線性微分方程

而言，如果函數 P(x) 和 Q(x) 在

點附近是解析點，則稱這樣的點

為該微分方程的常點。如果P(x) 或Q(x) 至少之一在

點點解析性遭到破壞，則稱

為該微分方程的奇點。如果

是上述二階微分方程的奇點，但

和

均為解析函數，則稱

為該微分方程的正則奇點。反之，如果

和

至少之一為非解析，則稱

為該微分方程的非正則奇點。

一個與初值問題的初值有關的奇點稱為流動奇點(movable singular point) ，也就是説，隨着初值的改變，奇點可能消失，也可能奇性變強，奇點的位置依賴與特解的選擇。反之，如果奇點與初值無關，則稱為固定奇點(fixed singular point)。比如説，如果某方程的通解為

則 z=0 和 z=c 都是解的奇點，但 z=0是固定奇點，而 z=c 是流動奇點，有關奇點的幾個重要性質：

（1）（龐加萊定理）任何線性方程只有固定奇點沒有流動奇點；

（2）（潘勒韋定理）方程

的解沒有流動的本性奇點，其中 P 是

的多項式，且是 z 的解析函數；

（3）（富克斯定理）如果方程 dw/dz=R（w，z）沒有流動的本性奇點，其中 R（w，z）是 w 和 z 的有理函數，則該方程必為裏卡蒂微分方程。

在線性二階常微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的奇點

的鄰域上，方程的兩個線性獨立解一般來説也是以

為奇點的，對這兩個解在

鄰域上展開（注意不是泰勒展開），全都具有有限個負冪項，則該奇點

稱為方程的正則奇點。 ^[1] 

一般來説，複平面上使方程

的右端函數或使此方程解的解析性遭到破壞的點就稱為奇點。也就是説，對於微分方程而言，奇點即可按方程右端函數的奇性分類，也可按方程解的奇性來分類。通常這兩種分類是相互獨立的，除非一些特殊系統，否則兩者之間沒有內藴關係。

有關奇點點幾種常見分類有：正則奇點、非正則奇點、流動奇點、固定奇點等。