龐加萊定理

自然界的微觀粒子無時不刻不在進行着隨機運動，並在運動中消耗能量。根據熱力學第二法則，孤立系統的熵恆增加。Rudolph Clausius（克勞修斯）認為任何系統都是由有序向無序發展，粒子的運動也將趨於複雜。隨着時間的流逝，宇宙將會走向熱寂。

1871年，James Clerk Maxwell首先對熱力學第二法則導出的“熱寂理論（熱寂論）”發起詰難。

在James Clerk Maxwell之後更有科學家對熱力學第二法則本身產生質疑，但是卻苦於找不出熵恆增（熵恆增定律）的破綻。1895年。Jules Henri Poincaré（龐加萊）歷史性地證明了龐加萊迴歸。

龐加萊迴歸定理是龐加萊在遍歷理論的第一個定理。他研究了下列方程：

由此導致他證明了下述龐加萊迴歸定理:設T為概率空間(X,.},川上的保測變換，對任意AE.}?，令A。一{x二〔A，且存在無限多個nEZ+，使T"(二)〔A}，則A} E .-}且}(Ao)=}<A).根據上述定理，當X為可分度量空間卜了為其波萊爾。代數時，則({xw(x)})=0，即幾乎所有點都是迴歸的。 ^[2] 

論述力學體系運動可復性的定理。1872年L.玻耳茲曼在他的《氣體理論》一文中證明了一個重要的定理──H定理。H定理斷定：一個處於非平衡態的系統總是要單調地趨向平衡；而一個已經達到平衡的系統再自動地趨向非平衡是不可能的。那麼,自然會提出這樣的問題:平衡系統自動趨向非平衡是否完全不可能？如果不是完全不可能的，其可能性有多大？1896年E.策爾梅洛就根據J.-H.龐加萊定理研究了運動的可復性問題。

1890年龐加萊證明了下述定理:系統的Γ相空間（見相宇）中除了一個測度為零的點集以外,在t=0時使系統從相空間中任何一有界點P出發,則對於任意給定的一個小距離ε>0，都存在一個有限的時間t(ε)，在這時間間隔內，系統必經過相空間的一點P‵，而。

由此定理可以看出運動的可復性。因為從中可以得到結論：放在封閉容器內的任何一個力學體系經過足夠長的時間後，總要回復到任意接近初始狀態的那個狀態上。由此可見，當H函數隨時間單調地減少以後,只要經過足夠長的時間，它將回復到初始的數值。這個結論似乎同宏觀不可逆性相牴觸，同玻耳茲曼H定理相矛盾。

玻耳茲曼對上述矛盾作了明確的回答:H定理具有統計的性質，它只是説非平衡態總以絕對優勢的幾率趨向平衡態，沒有完全否定由平衡態趨向非平衡態的可能性，並不完全排斥H的值偶然增加，運動回覆到原狀,只是幾率極其微小，因此反映統計規律的宏觀不可逆性同微觀可逆性並不矛盾。龐加萊定理雖然説明力學系統經過充分長的時間後總可以回覆到初始狀態附近，但是，根據龐加萊的證明，對於一般的氣體或液體，若單位體積含有的粒子數為10^23的數量級,那麼回覆時間的數量級約為秒,它比迄今知道的宇宙壽命還要大很多的數量級，比趨向平衡的時間大得簡直不可估量，它對所有宏觀物體來説，實際上可以看作是無窮大。於是得出結論：從熵小的狀態走向熵大的狀態幾乎是必然的；而從熵大的狀態走向熵小的狀態幾乎是不可能的。玻耳茲曼 H定理和龐加萊定理可以相容。