超幾何級數

超幾何級數亦稱高斯級數，是超幾何方程在單位圓內的第一解。

求和項是超幾何項的級數稱為超幾何級數，常用如下記號表示

其中

且

表示升階乘，即

。

【hypergeometric term】

超幾何項

定義在自然數上的函數f(n)被稱為超幾何項，如果f(n+1)/f(n)是關於n的有理函數，即存在多項式p(n)和q(n)使得

可以表示為有限個超幾何項的線性組合的函數被稱為閉形式（closed form）。

如果

都是關於n和k的有理函數，F(n，k)稱為雙超幾何項（hypergeometric term in both arguments）。

組合恆等式機器證明的主要研究對象是一類特殊的雙超幾何項，被稱為正則超幾何項（proper bypergeometric term ），它是如下形式的二元函數

，其中x是不定元，且：

（1）P(n，k)是關於n，k的多項式；

（2）a𝘴，b𝘴，u𝘴，v𝘴都是整數；

（3）c𝘴，w𝘴是可以含其他未定參數的常數；

（4）l和m是非負整數。

若

中沒有負整數，則具有如上形式的F在點(n，k)是有定義的。若F在(n，k)點有定義，且P(n，k)=0，或至少有一個

是負整數，則認為F(n，k)=0。

例如，

是正則超幾何項，因為它可以寫成

滿足定義。又如，雖然F(n,k)=1/(n+3k+1)看起來不是正則超幾何項的形式，但是它可以寫成如下形式:

所以它也是正則超幾何項。可以證明F(n,k)=1/(n²+k²+1)不是正則超幾何項。 ^[1]