超幾何方程

二階線性微分方程

其中

和

為任意參數，被稱為超幾何方程．它在x=0，x=1和

有奇點．

此外，任意齊次線性二階微分方程

可被轉換為超幾何方程，前提是方程

有兩個不同的根

和

．重寫上述超幾何方程在如下定義的新的自變量t下

得

其中設

再次用x表示新變量t 即得到超幾何方程．

如果

則超幾何方程通過兩次積分是可解的．如

並積分方程

得到

，其中

則二次積分得到

均為常數。

在超幾何方程理論中，主要強調的是超幾何方程的漸近線和它在單點旁的級數解．但是，實際上經常需要一類超幾何方程的通解解析式．因此，下面的定理決定了一類超幾何方程可以被初等函數可積或是求積． ^[1] 

超幾何方程

在

和兩個任意參數

和

:

的通解能通過積分得到，其形式是

其中

是任意常數。

注： 如果

和

是有理數，可以通過標準變換將上式中的積分化簡為有理函數的積分並將上式的解表示為初等函數． ^[1]