富克斯方程

富克斯方程是一類具有特殊奇性且在數學物理中有很廣背景的線性方程。

一個n階線性方程

如果它有有限個正則奇點

，同時又以無窮遠點∞為正則奇點，則稱為富克斯方程，此時係數可寫成下面形狀

其中

為一多項式，其次數最多為 h(k-1)。 ^[1] 

考慮一個二階富克斯方程

可設有限奇點點個數k大於2（否則方程較平凡），故可設

則其中 q(z),r(z) 各為次數不高於 k-1或2(k-1)的多項式，將其分解為部分分式

另一方面，下面方程稱為(1)在

的指數，並以

及

分別記(1) 的在正則奇點

，∞處點指數，富克斯證明，當(1) 僅有三個正則奇點時，上述係數

將由指數

及

完全確定，換言之，富克斯方程將由其指數完全確定，為此黎曼給出富克斯方程的下列記號

設

，則存在一個以

為正則奇點，以上述值為指數的富克斯方程的充分必要條件時

此時方程形為