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預序關係
鎖定
預序關係定義
自反性:a
a
傳遞性:若a
b且b
c,則a
c
帶預序的集合稱為預序集合(preordered set,或者proset)。
預序關係説明
作為特例,空集上的空關係為一預序。空集加上空關係構成一預序集。
預序關係導出偏序
將預序集的等價元素等同起來,可得到由該預序集所導出的偏序集。具體過程如下:定義預序集 X 上的等價關係
,使得 a
b 當且僅當 a
b 且 b
a。定義所得商集
(所有
的等價類構成的集合)上的序關係
,使得[x]
[y] 當且僅當 x
y。由
的構造可知,
的定義與所選等價類的代表元素無關,故上述定義明確。易證該關係為一偏序。
預序關係舉例
- 有向圖(可以包括圈)上的可到達關係給出了一個預序≤,對於有向圖中的任意兩點x, y,x≤y當且僅當存在一條由x到y的路徑。反過來説,每個預序都可理解為一個有向圖上的可到達關係。(比如,如果x≤y的話,就規定這個圖包含由x到y的有向邊。)不過,這種對應關係不是唯一的。不同的圖也可以給出相同的可到達關係。而同樣地,有向無環圖上的可到達關係也誘導出一個偏序。
- 可數全序間的嵌入(embedding)關係。
- 圖論中的graph-minor關係。
- 全預序的例子:一般模型中的偏好概念。
預序關係參見
- 有向集合
- 預序範疇
- 預良序