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全序關係
鎖定
- 中文名
- 全序關係
- 簡 稱
- 全序
- 又 稱
- 線性序、簡單序
- 性 質
- 集合
- 學 科
- 數學
全序關係定義
設集合X上有一全序關係,如果我們把這種關係用 ≤ 表述,則下列陳述對於 X 中的所有 a, b 和 c 成立:
- 如果 a ≤ b 且 b ≤ a 則 a = b (反對稱性)
- 如果 a ≤ b 且 b ≤ c 則 a ≤ c (傳遞性)
- a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)
配對了在其上相關的全序的集合叫做全序集合(totally ordered set)、線序集合(linearly ordered set)、簡單序集合(simply ordered set)或鏈(chain)。鏈還常用來描述某個偏序的全序子集,比如在佐恩引理中。
關係的完全性可以如下這樣描述:對於集合中的任何一對元素,在這個關係下都是相互可比較的。
注意完全性條件藴涵了自反性,也就是説,a ≤ a。因此全序也是偏序(自反的、反對稱的和傳遞的二元關係)。全序也可以定義為“全部”的偏序,就是滿足“完全性”條件的偏序。
[1]
可作為選擇的,可以定義全序集合為特殊種類的格,它對於集合中的所有 a, b 有如下性質:
全序關係嚴格全序
對於每個(非嚴格)全序 ≤ 都有一個相關聯的非對稱(因此反自反)的叫做嚴格全序的關係 <,它可以等價地以兩種方式定義:
性質:
- 關係是傳遞的: a < b 且 b < c 藴涵 a < c。
- 關係是三分的: a < b, b < a 和 a = b 中有且只有一個是真的。
- 關係是嚴格弱序,這裏關聯的等價是等同性。
我們可以其他方式工作,選擇 < 為三分的二元關係;則全序 ≤ 可等價地以兩種方式來定義:
- a ≤ b 當且僅當 a < b 或 a = b
- a ≤ b 當且僅當 ¬(b < a)
還有兩個關聯的次序是補關係 ≥ 和 >,它們構成了四元組 {<, >, ≤, ≥}。
全序關係全序關係與偏序關係
偏序和全序是公里集合論中的概念。首先需要知道什麼是二元關係。比如實數中的“大小”關係,集合的集合中的“包含”關係就是兩種二元關係。所謂偏序,即偏序關係,是一種二元關係。所謂全序,即全序關係,自然也是一種二元關係。全序是指,集合中的任兩個元素之間都可以比較的關係。比如實數中的任兩個數都可以比較大小,那麼“大小”就是實數集的一個全序關係。偏序是指,集合中只有部分元素之間可以比較的關係。比如複數集中並不是所有的數都可以比較大小,那麼“大小”就是複數集的一個偏序關係。顯然,全序關係必是偏序關係。反之不成立。
[2]
全序關係例子
- 把一個全序限制到其全序集合的一個子集上。
- 所有的兩個元素都是可比較的任何偏序集合 X (就是説,如果 a,b 是 X 的成員,則 a≤b 或 b≤a 中的一個為真或二者都為真)。
- 如果 X 是任何集合,而 f 是從 X 到一個全序集合的單射函數,則 f 誘導出 X 上的一個全序:規定 x1 < x2 當且僅當 f(x1) < f(x2)。
- 設有某個集族,其成員都是用序數為索引的全序集合,然後把這集族上取的笛卡爾積中的有序對按字典序排序,那麼,這字典序是一全序。例如,若有一個集合由一些詞語組成,按字母表把詞語排序的話會是一全序。舉個實例,我們規定"bird"先於"cat"。這可視為是向字母表加入空格符號""(定義""先於所有字母),得到集合A,然後對其自身取可數次笛卡爾積,得到Aω。"bird"可理解為Aω裏的序對("b","i","r","d","","",...),"cat"則是("c","a","t","","","",...)。從而{"bird","cat"}成為Aω的一個子集,把Aω上的字典序限制到這字集,便得出"bird"<"cat"。
- 自然數集是最小的沒有上界的全序集合。