零測度

數學上，測度（Measure）是一個函數，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、概率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和概率論有重要的地位。

測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數、測度、可測函數和積分，其重要性在概率論和統計學中都有所體現。 ^[1] 

正式的定義為，一個測度

（詳細的説法是可列可加的正測度）是個函數。設A是集合X上的一個σ代數,

在

上定義，於

中取值，並且滿足以下性質：

空集合的測度為零：

可數可加性，或稱

-可加性：若

為

中可數個兩兩不相交集合的序列，則所有

的聯集的測度，等於每個

的測度之和：

這樣的三元組

稱為一個測度空間，而

中的元素稱為這個空間中的可測集合。 ^[1] 

測度

的單調性： 若

和

為可測集，而且

，則

。

若

為可測集（不必是兩兩不交的），則集合

的並集是可測的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

如果

是一個有限實數（而不是

），則測度空間

稱為有限測度空間。如果

可以表示為可數個可測集的並集，而且這些可測集的測度均有限，則該測度空間稱為

-有限測度空間。如果測度空間中的一個集合

可以表示為可數個可測集的並集，而且這些可測集的測度均有限，就稱

具有

-有限測度。

作為例子，實數集賦以標準勒貝格測度是

-有限的，但不是有限的。為説明之，只要考慮閉區間族[k, k+1]，k取遍所有的整數；這樣的區間共有可數多個，每一個的測度為1，而且並起來就是整個實數集。作為另一個例子，取實數集上的計數測度，即對實數集的每個有限子集，都把元素個數作為它的測度，至於無限子集的測度則令為。這樣的測度空間就不是

-有限的，因為任何有限測度集只含有有限個點，從而，覆蓋整個實數軸需要不可數個有限測度集。

-有限的測度空間有些很好的性質；從這點上説，

-有限性可以類比於拓撲空間的可分性。 ^[2] 

一個可測集

稱為零測集，如果

。零測集的子集稱為可去集，它未必是可測的，但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測，則稱該測度為完備測度。

一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度：考慮

的所有這樣的子集

，它與某個可測集

僅差一個可去集，也就是説

與

的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集

生成的σ代數，並定義

的值就等於

。 ^[3] 

下列是一些測度的例子（順序與重要性無關）。

計數測度定義為

的“元素個數”。

一維勒貝格測度是定義在

的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足

的唯一測度。

Circular angle測度是旋轉不變的。

局部緊拓撲羣上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。

恆零測度定義為

，對任意的

。

每一個概率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（於是其值全部落到單位區間[0,1]中）。這就是所謂概率測度。見概率論公理。

其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。 ^[3]