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雙線性映射
鎖定
- 中文名
- 雙線性映射
- 外文名
- bilinear mapping
- 例 子
- 矩陣乘法
- 應用學科
- 數學
- 相關術語
- 線性映射
雙線性映射定義
- B:V×W→X
使得對於任何W中w，映射
- v↦B(v,w )
是從V到X的線性映射，並且對於任何V中的v，映射
- w↦B(v,w )
是從W到X的線性映射。
換句話説，如果保持雙線性映射的第一個參數固定，並留下第二個參數可變，結果的是線性算子，如果保持第二個參數固定也是類似的。
如果V=W並且有B(v,w ) =B(w,v )對於所有V中的v,w，則我們稱B是對稱的。
當這裏的X是F的時候，我們稱之為雙線性形式，它特別有用(參見例子標量積、內積和二次形式)。
對非交換基礎環R和右模MR與左模RN的情況，我們可以定義雙線性映射B:M×N→T，這裏的T是阿貝爾環，使得對於任何N中的n，m↦B(m,n )是羣同態，而對於任何M中的m，n↦B(m,n )是羣同態，並還滿足
- B(mt,n ) =B(m,tn )
對於所有的M中的m，N中n和R中的t。
雙線性映射性質
定義的V,W,X是有限維的，則L(V,W;X)也是。對於X=F就是雙線性形式，這個空間的維度是dimV×dimW（儘管線性形式的空間L(V×W;K)的維度是dimV+dimW）。要看出來，選擇V和W的基；接着每個線性映射可以唯一的表示為矩陣{\displaystyle B(e_{i},f_{j})}，反之亦然。如果X是更高維的空間，我們明顯的有dimL(V如果V,W,X是有限維的，則L(V,W;X)也是。對於X=F就是雙線性形式，這個空間的維度是dimV×dimW（儘管線性形式的空間L(V×W;K)的維度是dimV+dimW）。要看出來，選擇V和W的基；接着每個線性映射可以唯一的表示為矩陣
，反之亦然。如果X是更高維的空間，我們明顯的有dimL(V,W;X)=dimV×dimW×dimX。
雙線性映射例子
- 矩陣乘法是雙線性映射M(m,n)×M(n,p) → M(m,p)。
- 一般的説，對於在域F上的向量空間V，在V上的雙線性形式同於雙線性映射V×V→F。
- 設V和W是在同一個基礎域F上的向量空間。如果f是V* 的成員而g是W* 的成員，則b(v,w) =f(v)g(w)定義雙線性映射V×W→F。
- 在R中叉積是雙線性映射R×R→R。
- 設B:V×W→X是雙線性映射，而L:U→W是線性算子，則(v,u) →B(v,Lu)是在V×U上的雙線性映射。
- 零映射，定義於B(v,w)=o對於所有V×W中的(v,w)，是從V×W到X的同時為雙線性映射和線性映射的唯一映射。實際上，如果(v,w)∈V×W，則 B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o。
