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角

（幾何名詞）

鎖定
角在幾何學中，是由兩條有公共端點的射線組成的幾何對象。這兩條射線叫做角的邊，它們的公共端點叫做角的頂點。一般的角會假設在歐幾里得平面上，但在歐幾里得幾何中也可以定義角。角在幾何學和三角學中有着廣泛的應用。
幾何之父歐幾里得曾定義角為在平面中兩條不平行的直線的相對斜度。普羅克魯斯認為角可能是一種特質、一種可量化的量、或是一種關係。歐德謨認為角是相對一直線的偏差，安提阿的卡布斯認為角是二條相交直線之間的空間。歐幾里得認為角是一種關係，不過它對直角、鋭角和鈍角的定義都是量化的。
中文名
角
外文名
angle
拼    音
jiǎo
要    素
具有公共端點的兩條射線
屬    性
幾何圖形
相關分類
鋭角、直角、鈍角、平角等
相關概念
對頂角、內錯角、同位角等
性    質
對稱性
符    號
∠
應用學科
數學

目錄

  1. 1 定義
  2. ▪ 靜態定義
  3. ▪ 動態定義
  4. 2 符號
  5. 3 度量方法
  1. 4 種類
  2. 5 正角和負角
  3. 6 相關概念
  4. 7 角的規律
  5. 8 角的性質
  1. 9 角的平分線
  2. 10 角的平分線定理
  3. 11 角的記法
  4. 12 相關作圖

角定義

角靜態定義

（初中定義）
具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊。 [1] 

角動態定義

（高中定義）
一條射線繞着它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角。所旋轉射線的端點叫做角的頂點，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。意義：為了消除運算侷限，突破角度範圍。

角符號

符號：∠

角度量方法

用量角器的中心對準角的頂點，量角器的零刻度線對齊角的一邊，角的另一邊所指的刻度就是角的大小。 [2] 

角種類

角的大小與邊的長短沒有關係；角的大小決定於角的兩條邊張開的程度，張開的越大，角就越大，相反，張開的越小，角則越小。在動態定義中，取決於旋轉的方向與角度。角可以分為鋭角、直角、鈍角、平角、周角、負角、正角、優角、劣角、零角這10種。以度、分、秒為單位的角的度量制稱為角度制。此外，還有密位制、弧度制等。
鋭角（acute angle）：大於0°，小於90°的角叫做鋭角。 [3] 
直角（right angle）：等於90°的角叫做直角。
鈍角（obtuse angle）：大於90°而小於180°的角叫做鈍角。
平角（straight angle）：等於180°的角叫做平角。
優角（major angle）：大於180°小於360°叫優角。
劣角（minor angle）：大於0°小於180°叫做劣角，鋭角、直角、鈍角都是劣角。
角 角
周角（round angle）：等於360°的角叫做周角。
負角（negative angle）：按照順時針方向旋轉而成的角叫做負角。
正角（positive angle）：逆時針旋轉的角為正角。
零角（zero angle）：等於0°的角。

角正角和負角

以上角的定義均未考慮數值為負的角。不過在一些應用時，會將角的數值加上正負號，以標明是相對參考物不同方向的旋轉。
在二維的笛卡兒座標系中，角一般是以x軸的正向為基準，若往y軸的正向旋轉，則其角為正角，若往y軸的負向旋轉，則其角為負角。若二維的笛卡兒座標系也是x軸朝右，y軸朝上，則逆時針的旋轉對應正角，順時針的旋轉對應負角。
一般而言，−θ角和一圈減去θ所得的角是相同的。例如 − 45°和360° − 45°（=315°）等效，但這隻適用在用角表示相對位置，不是旋轉概念時。旋轉− 45°和旋轉315°是不同的。
在三維的幾何中，順時針及逆時針沒有絕對的定義，因此定義正角及負角時均需列出其參考的基準，一般會以一個通過角的頂點，和角所在平面垂直的向量為基準。
在導航時，導向是以北方為基準，正向表示順時針，因此導向45°對應東北方。導向沒有負值，西北方對應的導向為315°。

角相關概念

餘角和補角：兩角之和為90°則兩角互為餘角，兩角之和為180°則兩角互為補角。等角的餘角相等，等角的補角相等。
對頂角：兩條直線相交後所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做互為對頂角。兩條直線相交，構成兩對對頂角。互為對頂角的兩個角相等。
鄰補角：兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關係的兩個角，互為鄰補角。
內錯角，同旁內角，同位角 內錯角，同旁內角，同位角
內錯角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個角都在兩條直線的內側，並且在第三條直線的兩側，那麼這樣的一對角叫做內錯角（alternate interior angle ）。如：∠1和∠6，∠2和∠5。
同旁內角：兩個角都在截線的同一側，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關係的一對角互為同旁內角，如：∠1和∠5，∠2和∠6。
同位角：兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側,具有這樣位置關係的一對角叫做同位角(corresponding angles)：∠1和∠8、∠2和∠7。
外錯角：兩條直線被第三條直線所截，構成了八個角。如果兩個角都在兩條被截線的外側，並且在截線的兩側，那麼這樣的一對角叫做外錯角。例如：∠4與∠7，∠3與∠8。
同旁外角：兩個角都在截線的同一側，且在兩條被截線之外，具有這樣位置關係的一對角互為同旁外角。如：∠4和∠8，∠3和∠7。
終邊相同的角：具有共同始邊和終邊的角叫終邊相同的角。與角a終邊相同的角屬於集合：
A={b|b=k360°+a,k∈Z}表示角度制內所有角的集合；
B={b|b=2kπ+a,k∈Z}表示弧度制內所有角的集合。
二者實質上是相同的，只是符號表述不同。即，這裏A=B。

角角的規律

  1. 同角或等角的補角相等
  2. 同角或等角的餘角相等
  3. 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
  4. 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短
  5. 同位角相等，兩直線平行
  6. 內錯角相等，兩直線平行
  7. 同旁內角互補，兩直線平行
  8. 兩直線平行，同位角相等
  9. 兩直線平行，內錯角相等
  10. 兩直線平行，同旁內角互補
  11. 三角形內角和定理三角形三個內角的和等於180°
  12. 推論1 直角三角形的兩個鋭角互餘
  13. 推論2 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和
  14. 推論3 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角
  15. 全等三角形的對應邊、對應角相等
  16. 邊角邊公理（SAS）有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等
  17. 角邊角公理（ASA）有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等
  18. 推論（AAS）有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等
  19. 斜邊、直角邊公理（HL）有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
  20. 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
  21. 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上
  22. 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
  23. 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 （即等邊對等角）
  24. 推論1 等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊
  25. 推論2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
  26. 推論3 等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60°
  27. 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）
  28. 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
  29. 推論2 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
  30. 在直角三角形中，如果一個鋭角等於30°那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
  31. 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半
  32. 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
  33. 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
  34. 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
  35. 定理 如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線

角角的性質

對稱性：角具有對稱性，對稱軸是角的角平分線所在的直線。 [4] 

角角的平分線

定義：從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線。
相關定理：
1.性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
2.判定定理：到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

角角的平分線定理

角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
若角內部一點到角兩邊的距離相等，則該點在這個角的角平分線上。

角角的記法

用三個大寫英文字母表示，例：∠AOB（點O為頂點，寫在中間）
用一個大寫英文字母表示，例：∠O（點O為頂點）
用數字表示，例：∠1、∠2、∠3等
用1個希臘字母表示，例：∠α、∠β、∠γ等

角相關作圖

尺規作一個角等於已知角
已知：∠AOB.求作：∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB. [5] 
∠AOB ∠AOB [5]
尺規作一個角等於已知角
作法
示範
（1）作射線O'A'； [5] 
作射線O'A' 作射線O'A' [5]
（2）以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，交OA於點C，交OB於點D； [5] 
以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，交OA於點C，交OB於點D 以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，交OA於點C，交OB於點D [5]
（3）以點O’為圓心，以OC為半徑畫弧，交O'A'於點C'； [5] 
以點O’為圓心，以OC為半徑畫弧，交O'A'於點C' 以點O’為圓心，以OC為半徑畫弧，交O'A'於點C' [5]
（4）以點C”為圓心，以CD長為半徑畫弧，交前面的弧於點D'； [5] 
以點C”為圓心，以CD長為半徑畫弧，交前面的弧於點D' 以點C”為圓心，以CD長為半徑畫弧，交前面的弧於點D' [5]
（5）過點D'作射線O'B. A'O'B'就是所求作的角. [5] 
過點D'作射線O'B. A'O'B'就是所求作的角 過點D'作射線O'B. A'O'B'就是所求作的角 [5]
尺規作一個角的角平分線 [6] 
∠AOB ∠AOB [6]
已知：∠AOB.求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC [6] 
作法：
1.在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD=OE. [6] 
2.分別以D，E為圓心、以大於
DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交於點C. [6] 
角的角平分線 角的角平分線 [6]
3.作射線OC.OC就是∠AOB的平分線. [6] 
參考資料