複變函數論

《21世紀高等院校數學基礎課系列教材:複變函數論》是在遵循普通高等院校《理工科本科複變函數課程教學基本要求》的基礎上，廣泛參考國內外經典教材，按照新形勢下教材改革精神，同時結合作者長期的教學改革實踐經驗編寫而成的，其內容組織由淺入深，較全面、系統地介紹瞭解析函數的基本理論和方法。《21世紀高等院校數學基礎課系列教材:複變函數論》共七章，內容包括：複數與複變函數、解析函數、複變函數的積分、解析函數的級數理論、留數理論及其應用、共形映射、解析延拓簡介。每章配有適量的習題，並在書後給出簡略參考答案，《21世紀高等院校數學基礎課系列教材:複變函數論》內容豐富，體系嚴謹，講解通俗易懂，具有很強的可讀性。 ^[2] 

第一章 複數與複變函數

1 複數

一、複數域

二、複平面

三、複數的乘冪與方根

四、共軛複數的性質

五、複數在幾何中的應用

2 複平面上的點集

一、基本概念

二、區域與曲線

3 複變函數

一、複變函數的概念

二、複變函數的極限與連續性

4 復球面與無窮遠點

一、復球面

二、擴充複平面上的幾個概念

習題一

第二章 解析函數

1 解析函數的概念

一、導數與微分

二、解析函數

三、柯西一黎曼方程

2 初等解析函數

一、冪函數

二、指數函數

三、三角函數

3 基本初等多值函數

一、根式函數

二、對數函數

三、一般冪函數與一般指數函數

4 一般初等多值函數

一、基本理論

二、輻角函數

三、ArgR（x）的可單值分支問題

四、LnR（x）的可單值分支問題

五、ω=n√R（x）的可單值分支問題

六、反三角函數與反雙曲函數

習題二

第三章 複變函數的積分

1 複變函數積分的概念及其基本性質

一、複變函數積分的定義及計算

二、複變函數積分的基本性質

2 柯西積分定理

一、柯西積分定理

二、不定積分

3 柯西積分公式及其推論

一、柯西積分公式

二、柯西導數公式

三、柯西不等式

四、摩勒拉定理

4 解析函數與調和函數的關係

一、解析函數與調和函數的關係

二、解析函數的求法

習題三

第四章 解析函數的級數理論

1 一般理論

一、複數項級數

二、複變函數項級數

三、解析函數項級數

四、冪級數及其和函數

2 泰勒級數

一、泰勒定理

二、一些初等函數的泰勒展式

3 解析函數的零點及唯一性定理

一、解析函數的零點

二、唯一性定理

三、最大模原理

4 洛朗級數

一、洛朗級數

二、洛朗定理

三、解析函數的孤立奇點

四、解析函數在無窮遠點的性質

五、整函數與亞純函數

習題四

第五章 留數理論及其應用

1 留數及留數定理

一、留數的定義及其求法

二、留數定理

2 用留數定理計算實積分

一、計算∫2π0 R（cos0，sinθ）dθ型積分

二、計算∫+∞－∞P（x）/Q（x）dx型積分

三、計算∫+∞－∞P（x）/Q（x）eimxdx型積分

四、計算積分路徑上有奇點的積分

3 輻角原理與儒歇定理

一、對數留數

二、輻角原理

三、儒歇定理

習題五

第六章 共形映射

1 共形映射

2 分式線性變換

一、四種基本變換

二、分式線性變換及其分解

三、分式線性變換的性質

四、分式線性變換的應用

3 某些初等函數構成的共形映射

一、冪函數與根式函數

二、指數函數與對數函數

三、兩角形區域的共形映射

4 共形映射的一般理論

一、黎曼存在定理

二、黎曼邊界對應定理

習題六

第七章 解析延拓簡介

1 解析延拓的概念和方法

一、基本概念

二、冪級數延拓

三、透弧延拓

2 完全解析函數及單值性定理

一、完全解析函數

二、單值性定理

參考文獻

名詞索引

習題答案與提示

^[2]