解析函數項級數

解析函數項級數，是由解析函數組成的級數。在複分析中有不同的結果：一致收斂的解析函數項級數是解析函數。

解析函數項級數在數學分析中，函數項級數能逐項求導的條件是苛刻的，然而解析函數項級數求導的條件卻比較寬些，這就是維爾斯特拉斯定理。

由維爾斯特拉斯定理知道，在【α,b】上連續的任何函數可表示為一致收斂的多項式級數。在複分析中有不同的結果：一致收斂的解析函數項級數是解析函數。 ^[1] 

解析函數是區域上處處可微分的複函數。

17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函數Φ（x，y)與流函數Ψ（x，y)有連續的偏導數，且滿足微分方程組，並指出f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y）是可微函數，這一命題的逆命題也成立。柯西把區域上處處可微的複函數稱為單演函數，後人又把它們稱為全純函數、解析函數。B.黎曼從這一定義出發對複函數的微分作了深入的研究，後來，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。