複變函數論

本書俄文原為俄羅斯師範學院數學系的教學參考書. 本書在內容安排上與傳統的教材有很大的不同. 本書共分為九章，作者從複變函數論的基礎講起，由淺入深，並在後兩章中分別講述了奇點、複變函數論在代數和分析上的應用以及保角映像、複變函數論在物理問題中的應用等.

本書適合大學生、高等數學研究人員參考使用. ^[1] 

第一章 複數//1

1 複數集//1

2 複數的四則運算//4

3 共軛數//8

4 複數的三角寫法·模和幅角//9

5 複數運算的幾何説明//11

6 模與輻角的性質//13

習題//15

第二章 函數·極限·級數//17

7 函數的概念·平面到平面上的映象//17

8 數列的極限//20

9 函數的極限·連續性//27

10 數字級數//31

11 幾何級數(及其有關的級數)//34

習題//37

第三章 整有理函數和分式有理函數//39

12 多項式的概念//39

13 多項式的性質·代數學的基本定理//40

14 有理函數的概念//46

15 有理函數的性質·展成初等分式//47

16 將有理函數按的冪展開//52

習題//59

第四章 初等超越函數//60

17 指數函數·歐拉公式//60

18 圓(三角)函數和雙曲函數//66

19 歐拉公式應用舉例//72

20 圓正切和雙曲正切//76

21 對數//76

22 任意的冪和根//79

23 反三角函數和反雙曲函數//81

習題//83

第五章 導數及積分//85

24 複變函數導數的概念//85

25 初等函數的導數//90

26 柯西—黎曼條件//94

27 積分法的基本引理//97

28 原函數//97

29 復積分的概念//101

30 復積分的性質// 106

31 視作原函數增量的定積分//110

32 復積分與積分路徑無關的條件//112

33 閉曲線上的積分//114

34 由積分來是義對數//117

35 求有理函數的積分//119

習題//121

第六章 函數列和函數級數//122

36 關於一致收斂的一般知識//122

37 冪級數和它的性質//128

38 泰勒級數//137

39 幕級數的演算方法//141

40 在所與區域內為一致收斂的由一般形狀的多項式做成的級數(和序列) // 147

41 分式有理函數做成的級數(序列)//151

42 另外的級數和序列//154

習題//158

第七章 柯西積分、解析函數的概念//159

43 與參數有關的積分//159

44 多項式情形的柯西積分//164

45 以柯西積分表示複變函數的條件//165

46 將複變函數展成冪級數//166

47 解析(正則)函數的概念//168

48 用多項式近逼解析函數//172

49 解析函數的性質//174

50 魏爾斯特拉斯關於解析函數列極限的定理//178

51 解析拓展//181

52 黎曼曲面//189

53 解析函數與解析表示//193

習題//194

第八章 奇點、複變函數論在代數和分析上的應用//196

54 整函數及其在無限遠點的變化//196

55 單值函數的孤立奇點、極點和本性奇點//199

56 在孤立奇點鄰域內的洛朗展開式//202

57 柯西殘數定理//204

58 沿閉曲線所取的對數導數的積分·多項式在所與曲線內零點的數目·代數學的基本定理//206

59 離斯—盧卡定理//209

60 幾個利用殘數計算定積分的例子//210

習題// 213

第九章 保角映象、複變函數論在物理問題中的應用、複變函數論的流體力學解釋//215

61 保角性//215

62 地圖製圖學問題：球面到平面的保角映象//220

63 導數的幾何意義//221

64 保角映象的圖像表示法//224

65 黎曼關於保角映象的基本定理//227

66 拉普拉斯方程·調和函數及它的應用//228

67 常數模曲線與常數幅角曲線的某些性質//232

68 複變函數論的流體力學表示//234

習題//243

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