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蝴蝶定理
鎖定
- 中文名
- 蝴蝶定理
- 外文名
- Butterfly Theorem
- 別 名
- 蝴蝶原理
- 表達式
- XM=MY
蝴蝶定理定理定義
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。
蝴蝶定理的證明
1. M作為圓內弦的交點是不必要的，可以移到圓外。
2. 圓可以改為任意圓錐曲線。
蝴蝶定理平面幾何證法
蝴蝶定理霍納證法
過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，
連接ON，OM，OS，SL，ST
可知∠F=∠D；∠C=∠E（同弧所對的圓周角相等）
△ESD∽△CSF（AA）
證法1:霍納證法
∴DS/FS=DE/FC
根據垂徑定理得：DL=DE/2，FT=FC/2
∴DS/FS=DL/FT
又∵∠D=∠F
∴△DSL∽△FST
∴∠SLD=∠STF
即∠SLN=∠STM
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四點共圓（對角互補的四邊形共圓），
同理，O，T，M，S四點共圓
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON（同弧所對的圓周角相等）
∴∠SON=∠SOM
∴∠OTS=∠OMS，∠OLS=∠ONS（同弧所對的圓周角相等）
∴∠OMS=∠ONS
∵OS⊥AB
∴在△OSM和△OSN
∠MSO=∠NSO
∠OMS=∠ONS
OS=OS
∴△SOM≌△SON（AAS）
∴MS=NS
蝴蝶定理作圖法
從X向AM和DM作垂線，設垂足分別為X'和X''。類似地，從Y向BM和CM作垂線，設垂足分別為Y'和Y''。
證法2
（證明過程見圖1）
圖1證明方法二
蝴蝶定理對稱法
圖2證法3:對稱證法
蝴蝶定理面積法
圖3
蝴蝶定理帕斯卡證法
連接CO、EO並延長分別交圓O於I、J，連接IF、DJ交於K，
連接GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共線
證法5:帕斯卡定理證法(2張)
又∵CI、EJ為⊙O直徑
∴∠GFK=∠HDK=90°
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°
∴G、F、K、M共圓，H、D、K、M共圓
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH
又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK（ASA）
∴GM=MH
蝴蝶定理相似法
圖4
則△GIC∽△LHC，△DIC∽△KHC
∴
兩式相乘，得
~~~①
又，∠L=∠G=∠F
∵∠EHL=∠KHF
∴△EHL∽△KHF
∴
∴
（相交弦定理）
∵AC=BC
代入上式得
又∵
（相交弦定理）
將上述兩式全部代入①中，得
∴IC=HC
蝴蝶定理射影法
圖5
1.構造特殊情況：如圖5中圖1，A'B'、C'D'、M'N'為⊙O'內三條直徑，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，則由圓中心對稱性知P'O'=Q'O'.
2.中心投影：在不屬於⊙O'所在平面的空間上任取一點T作為投影中心，用平行於直線M'N'的平面截影，則圓O'被射影為橢圓，線段M'N'被射影為與之平行的M''N''，如圖5中圖2，則對應存在P''O''=Q''O''.
3.仿射：將圖5中圖2的橢圓仿射為圓，如圖5中圖3，由仿射不變性知PO=QO.
蝴蝶定理解析幾何證法
利用曲線系可以證明任意圓錐曲線（包括退化情形）的蝴蝶定理。
圓錐曲線C上弦PQ的中點為M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。
證明：以PQ所在直線為x軸，M為座標原點建立直角座標系。
由於直線AB、CD經過原點M，其方程可分別設為
，其中係數不全為0。則方程C1：
表示這兩條直線。
又設已知圓錐曲線方程C2為
那麼，經過ABCD四點的曲線系C可寫成：
設P(-t,0)，Q(t,0)，則P、Q的座標滿足方程C2，即
兩個方程相減即得d=0，即C2中不含關於x的一次項。
回到曲線C中，令y=0，得C與x軸交點的橫座標x滿足：
也就是説，曲線C與x軸的兩個交點關於原點M對稱。
因為弦AD、BC組成一條通過ABCD的曲線C，它和x軸交於X，Y，所以有MX=MY。
蝴蝶定理定理推廣
該定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況，有多種推廣：
1.蝴蝶定理的圓外形式
2.在圓錐曲線中
圓錐曲線C上弦PQ的中點為M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。
而通過投影變換可以非常容易證明這個定理。
射影幾何裏面關於投影變換有一個重要結論，對於平面上任意兩個圓錐曲線C1,C2.任意指定C1內部一個點A1和C1上面一個點B1,另外任意指定C2內部一個點A2和C2上面一個點B2,存在唯一一個投影變換將曲線C1變換到C2而且A1變換到A2,B1變換到B2.
由此對於本題，我們可以通過投影變換將C1變換成一個圓M，而將弦PQ的中點M變換成這個圓的圓心。
在此變換以後，弦AB和CD都是圓M的直徑而且四邊形ACBD是圓M內接矩形，PQ也是一條直徑，由對稱性顯然得出投影變換後M為X,Y的中點。又因為變換前後M都是線段PQ的中點，我們可以得出在直線PQ上這個變換是仿射變換，所以變換前M也是XY的中點。
例題：
圖7橢圓中的蝴蝶定理
如圖7，橢圓的長軸A1、A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，
中心為M(o，r)（b＞r＞0）。
（I）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點座標及離心率
（II）直線y=k1x交橢圓於兩點C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直線y=k2x交橢圓於兩點G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。求證：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)
（III）對於（Ⅱ）中的C，D，G，H，設CH交X軸於點P，GD交X軸於點Q。
求證： | OP | = | OQ |。（證明過程不考慮CH或GD垂直於X軸的情形）
從x向AM和DM作垂線，設垂足分別為X'和X''。
類似地，從Y向BM和CM作垂線，設垂足分別為Y'和Y'
證明過程圖片
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
設：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)為 ②式，兩邊同取倒數，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移項得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
將①’兩邊同乘以k1·k2，即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它與②’完全一樣。這裏利用兩式同時變形的方法可以較容易實現目的，有分析、有綜合，有思維，有運算。思路的選擇有賴於對式子特徵的觀察聯想。
縱觀這道題的題目特徵及解答過程，我們看到了用代數方程方法處理幾何問題的作用與威力。
3.在箏形中
圖8箏形中命題證明
在箏形ABCD中，AB=AD，BC=CD，過直線BD上一點P任作兩條直線，一條與直線 AD、BC 交於E、F，另一條與直線 AB、CD 分別交於 G、H，直線 GF、EH 分別與 BD 交於 I、J。則
特別地，當點 P 為 BD 中點時，有 PI=PJ。此時本題為1990年中國中學生數學冬令營選拔考試試題，被稱為箏形蝴蝶定理。
4.坎迪定理
蝴蝶定理發展歷史
這個命題最早作為一個徵解問題出現於公元1815年英國的一本雜誌《男士日記》（Gentleman's Diary）39-40頁（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人們的證明都並非初等，且十分繁瑣。
另外一種早期的證明由M.布蘭德（Mile Brand）1827年的一書中給出。最為簡潔的證法是射影幾何的證法，由英國的J·開世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"給出，只有一句話，用的是線束的交比。
“蝴蝶定理”這個名稱最早出現於《美國數學月刊》1944年2月號，題目的圖形象一隻蝴蝶。
1990年，CMO出現了箏形蝴蝶定理。
[4]
蝴蝶定理定理意義
蝴蝶定理是古典歐式平面幾何的最精彩的結果之一。這個定理的證法不勝枚舉，仍然被數學熱愛者研究，在考試中時有出現各種變形。
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- 參考資料
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- 1. 利用射影定理證明蝴蝶定理 《數學學習與研究》 2011年17期 ．知網空間[引用日期2015-02-02]
- 2. Steiner定理與蝴蝶定理 《數學通報》2000年第12期 ．知網空間[引用日期2015-02-02]
- 3. 蕭振剛．幾何變換與幾何證題：哈爾濱工業大學出版社，2003：285-286
- 4. 趙臨龍.射影觀點下的蝴蝶定理 [J] . 湖南教育學院學報, 1998, 16(2): 29-32.
