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垂徑定理

垂徑定理是數學平面幾何（圓）中的一個定理，它的通俗的表達是：垂直於弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧。數學表達為：如下圖，直徑DC垂直於弦AB，則AE等於EB，弧AD等於弧BD（包括優弧與劣弧），半圓CAD等於半圓CBD。

垂徑定理定理定義

垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。

一條直線，在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件,就可以推出其他三條結論。稱為知二得三（知二推三）。

圖1 垂徑定理圖示

如圖1 ，在⊙O中，DC為直徑， AB是弦，AB⊥DC於點E，AB、CD交於E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

證明：連接OA、OB分別交⊙O於點A、點B

∵OA、OB是⊙O的半徑

∴OA=OB

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三線合一）

∴∠AOC=∠BOC

∴弧AC=弧BC

原本命題，其中CD垂直於直線AB

推論一：平分弦（非直徑）的直徑垂直於這條弦,並且平分這條弦所對的兩段弧。

幾何語言：∵DC是直徑，AE=EB

∴直徑DC垂直於弦AB，劣弧AD=劣弧BD，弧AC=弧BC

推論二：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,並且平分這條弦所對的另一條弧。

幾何語言：∵弧AD=弧BD

∴CD垂直平分AB，弧AC=弧BC

推論三：在同圓或者等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等。

歐幾里得（古希臘數學家希臘文：Ευκλειδης. ，公元前330年~公元前275年，）幾何原本第I卷中的第12個命題實際即為垂徑定理，這可能是最早的有關於垂徑定理的記載。^[1]

垂徑定理是圓的重要性質之一，它是證明圓內線段、角相等、垂直關係的重要依據，也為圓中的計算、證明和作圖提供了依據、思路和方法。^[2]

參考資料

詞條統計