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優弧

鎖定
圓上任意兩點間的部分叫做弧。直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧都叫半圓。大於半圓的弧叫優弧。小於半圓的弧叫做劣弧。
中文名
優弧
外文名
major arc
所屬學科
數學
定    義
大於半圓的弧叫優弧
相關概念
弧、劣弧等

優弧弧的定義

圓上任意兩點間的部分叫做。用符號”
”表示弧。例如,圖1中以
為端點的弧.記作
,讀作弧
設半徑為
的圓中,
°的圓心角所對的弧長為
,則弧長公式為:
.
圖1 圓上任意兩點間的部分叫做弧 圖1 圓上任意兩點間的部分叫做弧

優弧優弧的定義

大於半圓的弧叫做優弧。例如圖1中的
就是優弧.讀作弧
[1] 

優弧劣弧

小於半圓的弧叫做劣弧。圖1中的
就是劣弧,讀作弧
沒有註明時,所説的弧一般是指劣弧。 [1] 

優弧半圓

在一個圓中,任意一條直徑的兩個端點,把圓分成兩條相等的弧。其中每一條弧叫做半圓。 [1] 

優弧弧的相關性質

圓內、圓心角、弧、弦、弦心距的性質
(1)在同圓或等圓內,如果圓心角相等,那麼它們所對的弧相等;所對的相等;所對弦上的弦心距相等(逆命題也成立)。
(2)在同圓或等圓內,如果圓心角不等,那麼圓心角大的所對的弧大;所對的弦大;所對弦上的弦心距小(逆命題也成立)。 [2] 
圓內、直徑、弦、弧的性質
(1)在圓內,如果直徑垂直弦,那麼這直徑平分這弦;平分這弦所對的弦。
(2)在圓內,如果直徑平分弦(這弦本身不是直徑),那麼這直徑垂直這弦;並平分這弦所對的弧。
(3)在圓內,如果直徑平分弧,那麼這直徑垂直平分這弧所對的弦。
(4)在圓內,弦的垂直平分線通過圓心。
(5)在圓內,二平行弦所夾的弧相等。 [2] 

優弧相關命題舉例

命題1 在相等圓中,等弦截出相等的弧,優弧等於優弧,劣弧等於劣弧。
圖2 等弦截出相等的弧 圖2 等弦截出相等的弧
圖3 等弦截出相等的弧 圖3 等弦截出相等的弧
設:圓ABC與圓DEF相等,弦AB等於弦DE,切分的優弧為ACB和DFE,劣弧為AGB和DHE。
求證:優弧ACB等於優弧DFE,劣弧AGB等於劣弧DHE。
證明:令:K,L分別為兩圓的圓心,連接AK、KB、DL和LE 。因為圓相等,那麼半徑相等,所以:AK、KB分別等於DL、LE,且第三邊AB等於第三邊DE。所以:∠AKB等於∠DLE 。又,因為當它們是圓心角時,它們所對的弧相等,所以:弧AGB等於弧DHE。
又:圓ABC也等於圓DEF。
所以:弧ACB也等於弧DFE。
所以:在相等圓中,等弦截出相等的弧,優弧等於優弧,劣弧等於劣弧。
命題2 在相等圓內,相等的圓周角或圓心角所對的弧相等。
設:ABC、DEF為相等圓.在其內作相等圓心角和圓周角.即圓心角∠BGC、∠EHF,圓周角∠BAC、∠EDF。
求證:圓周角∠BKC等於圓周角∠ELF。
圖4 相等的圓周角或圓心角所對的弧相等 圖4 相等的圓周角或圓心角所對的弧相等
圖5 相等的圓周角或圓心角所對的弧相等 圖5 相等的圓周角或圓心角所對的弧相等
證明: 令:連接BC、EF。
既然圓ABC等於圓DEF,那麼半徑相等。
所以:線段BG、GC就等於線段EH、HF.在G點的角等於在H點的角。所以:第三邊BC等於第三邊EF。
又因為在A點的角等於在D點的角,所以:弓形BAC相似於弓形EDF,它們立於相等線段上。
因為,在相等線段上的相似弓形彼此相等,所以,弓形BAC等於弓形EDF。
又因為,整圓ABC也等於整圓DEF,所以,餘弧BKC等於餘弧ELF。
所以:在相等圓內,相等的圓周角或圓心角所對的弧相等。 [3] 
更多關於弧的性質的詳細證明可參考文後相關參考書籍。 [3] 
參考資料
  • 1.    顧榮.雙色小學數學詞同典:安徽教育出版社,2003.01
  • 2.    劉迅,李照武,孫銘鑄.中學生實用百科全書:南海出版公司,1991.1
  • 3.    (古希臘)歐幾里德.幾何原本(全新修訂本):重慶出版社,2014.08