-
三線合一
鎖定
- 中文名
- 等腰三角形三線合一定理
- 外文名
- Isosceles triangle three lines one theorem
- 別 名
- 在等腰三角形中，頂角的角平分線，底邊的中線，高線，三條線互相重合
- 適用領域
- 數學幾何
- 應用學科
- 數學
- 等級劃分
- 初中幾何
- 內 容
- 等腰三角形三線合一
- 前 提
- 三角形是等腰三角形或等邊三角形
- 備 註
- 等邊三角形屬於等腰三角形
- 逆命題是否成立
- 成立
- 簡 稱
- 三線合一
三線合一證明
已知：△ABC為等腰三角形，AB=AC
1.AD為角平分線，求證：BD=CD，AD⊥BC.
在△ABD和△ACD中：
∠BAD=∠CAD
AB=AC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=1/2∠BDC=90°
等腰三角形ABC(AB=AC)
在△ABD和△ACD中：
BD=CD
AB=AC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=1/2∠BDC=90°
3.AD為高線，求證：∠BAD=∠CAD,BD=CD.
在△ABD和△ACD中：
∠ADB=∠ADC=90°
AD=AD
AB=AC
∴△ABD≌△ACD（HL）
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD
綜上所述，等腰三角形三線合一
三線合一逆命題
② 如果三角形中有一邊的中線和這條邊上的高重合，那麼這個三角形是等腰三角形。
③ 如果三角形中有一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那麼這個三角形是等腰三角形。
①AD⊥BC於D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中線
（1）若以①②為條件，求證AB=AC。理由如下：
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(ASA)
∴AB=AC
（2）若以②③為條件，求證AB=AC。理由如下：
∵AD是BC中線，
∴S△ABD=S△ACD，
作DE⊥AB於E，DF⊥AC於F，
又∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴AB=AC（等底等高）
（3）若①③，求證AB=AC。理由如下：
∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC
