-
脈衝響應不變法
鎖定
- 中文名
- 脈衝響應不變法
- 類 別
- 模擬濾波器轉化為數字濾波器
- 利 用
- 模擬濾波器理論設計數字濾波器
- 概 念
- 數字濾波器能模仿模擬濾波器特性
脈衝響應不變法概念詳解
如以Ha(s)及H(z)分別表示ha(t)的拉氏變換及h(n)的z變換,即
Ha(s)=L[ha(t)]
H(z)=Z[h(n)]
則根據採樣序列z變換與模擬信號拉氏變換的關係,得:
上式表明,採用脈衝響應不變法將模擬濾波器變換為數字濾波器時,它所完成的S平面到Z平面的變換,正是以前討論的拉氏變換到Z變換的標準變換關係,即首先對Ha(s)作週期延拓,然後再經過z=e^sT的映射關係映射到Z平面上。
z=e^sT的映射關係表明,S平面上每一條寬為2π/T的橫帶部分,都將重疊地映射到Z平面的整個全部平面上。每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內,每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外,jΩ軸映射在單位圓上,但jΩ軸上的每一段2π/T都對應於繞單位圓一週:
脈衝響應不變法的映射關係
應當指出,Z=e^sT的映射關係反映的是Ha(s)的週期延拓與H(z)的關係,而不是Ha(s)本身與H(z)的關係,因此,使用脈衝響應不變法時,從Ha(s)到H(z)並沒有一個由S平面到Z平面的簡單代數映射關係,即沒有一個s=f(z)的代數關係式。另外,數字濾波器的頻響也不是簡單的重現模擬濾波器的頻響,而是模擬濾波器頻響的週期延拓,週期為ΩS=2π/T=2πfs,即
Ha(jΩ)=0 |Ω|≥π/T
|ω|<π
但任何一個實際的模擬濾波器,其頻響都不可能是真正帶限的,因此不可避免地存在頻譜的交疊,即混淆,這時,數字濾波器的頻響將不同於原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在摺疊頻率以上衰減越大,失真則越小,這時,採用脈衝響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。
其拉氏反變換為:
再對h(n)取Z變換,得到數字濾波器的傳遞函數:
第二個求和為等比級數之和, ,要收斂的話,必有 ,所以有
比較部分分式形式的Ha(s)和上式H(z)可以看到,S平面上的極點s=si,變換到Z平面上是極點 ,而Ha(s)與H(z)中部分分式所對應的係數不變。如果模擬濾波器是穩定的,則所有極點si都在S左半平面,即Re[si]<0,那麼變換後H(z)的極點 也都在單位圓以內,即| |= <1,因此數字濾波器保持穩定。
值得注意的是,這種Ha(s)到H(z)的對應變換關係,只有將Ha(s)表達為部分分式形式才成立。
雖然脈衝響應不變法能保證S平面與Z平面的極點位置有一一對應的代數關係,但這並不是説整個S平面與Z平面就存在這種一一對應的關係,特別是數字濾波器的零點位置與S平面上的零點就沒有一一對應關係,而是隨着Ha(s)的極點si與係數Ai的不同而不同。
H(e) 是Ha(jΩ)的週期延拓(週期為fs),因Ha(jΩ)並不是帶限,即在超過fs頻率部分並不為0,所以就產生了混迭。當為低通或帶通濾波器時,fs越大,則Ha(jΩ)的下一週期相隔越遠,混迭也就越小。當為帶阻或高通濾波器時,Ha(jΩ)在超過fs/2頻率部分全為通帶,這樣就不滿足抽樣定理,發生了完全的混迭,所以脈衝響應不變法不能設計帶阻或高通濾波器。
脈衝響應不變法小結
- 在要求時域脈衝響應能模仿模擬濾波器的場合,一般使用脈衝響應不變法。
- 脈衝響應不變法的一個重要特點是頻率座標的變換是線性的,ω=ΩΤ,ω與Ω是線性關係。因此如果模擬濾波的頻響帶限於摺疊頻率以內的話,通過變換後濾波器的頻響可不失真地反映原響應與頻率的關係。
字濾波器。
- 如果Ha(s)是穩定的,即其極點在S左半平面,映射到H(Z)也是穩定的。
- 參考資料
-
- 1. 脈衝響應不變法 .東南大學網[引用日期2013-10-25]