數字濾波器

數字濾波器對信號濾波的方法是：用數字計算機對數字信號進行處理，處理就是按照預先編制的程序進行計算。數字濾波器的原理如圖所示，它的核心是數字信號處理器。

如果採用通用的計算機，隨時編寫程序就能進行信號處理的工作，但處理的速度較慢。如果採用專用的計算機芯片，它是按運算方法制成的集成電路，連接信號就能進行處理工作，處理的速度飛快，但功能不易更改。如果採用可編程的計算機芯片，那麼，裝入什麼程序機器就能具有什麼功能。這種可編程芯片的優點很多，是現代電子產品的首選。如果是對模擬信號進行處理，則需要添加模數轉換器和數模轉換器。

參考《數字信號處理》楊毅明著p.183-184，機械工業出版社2012年發行。

數字濾波器是按照程序計算信號，達到濾波的目的。通過對數字濾波器的存儲器編寫程序，就可以實現各種濾波功能。對數字濾波器來説，增加功能就是增加程序，不用增加元件，不受元件誤差的影響，對低頻信號的處理也不用增加芯片的體積。用數字濾波方法可以擺脱模擬濾波器被元件限制的困擾。

數字濾波器一詞出現於60年代中期。由於電子計算機技術和大規模集成電路的發展，數字濾波器已可用計算機軟件實現，也可用大規模集成數字硬件實時實現。

數字濾波器是一個離散時間系統（按預定的算法，將輸入離散時間信號(對應數字頻率)轉換為所要求的輸出離散時間信號的特定功能裝置）。應用數字濾波器處理模擬信號（對應模擬頻率）時，首先須對輸入模擬信號進行限帶、抽樣和模數轉換。數字濾波器輸入信號的數字頻率（2π*f/fs,f為模擬信號的頻率，fs為採樣頻率，注意區別於模擬頻率),按照奈奎斯特抽樣定理，要使抽樣信號的頻譜不產生重疊，應小於摺疊頻率（ws/2=π)，其頻率響應具有以2π為間隔的週期重複特性，且以摺疊頻率即ω=π點對稱。為得到模擬信號，數字濾波器處理的輸出數字信號須經數模轉換、平滑。數字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或複用、便於集成等優點。數字濾波器在語言信號處理、圖像信號處理、醫學生物信號處理以及其他應用領域都得到了廣泛應用。

數字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應用最廣的是線性、時不變數字濾波器，以及f.i.r濾波器。

IIR數字濾波器的最通用的方法是藉助於模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經有了相當成熟的技術和方法，有完整的設計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設計數字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。

對於IIR數字濾波器的設計具體步驟如下：

(1)按照一定的規則將給出的數字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。

(2)根據轉換後的技術指標設計模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數)。

(3)再按照一定的規則將G(s)轉換成H(z)(H(z)是數字濾波器的傳遞函數)。若設計的數字濾波器是低通的，上述的過程可以結束，若設計的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那麼還需要下面的步驟：

將高通、帶通或帶阻數字濾波器的技術指標轉換為低通模擬濾波器的技術指標，然後設計出低通G(s)，再將G(s)轉換為H(z)。

IIR數字濾波器的系統函數可以寫成封閉函數的形式。

IIR數字濾波器採用遞歸型結構，即結構上帶有反饋環路。IIR濾波器運算結構通常由延時、乘以係數和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯型、並聯型四種結構形式，都具有反饋迴路。由於運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產生微弱的寄生振盪。

IIR數字濾波器在設計上可以藉助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現成的設計數據或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個IIR數字濾波器時，我們根據指標先寫出模擬濾波器的公式，然後通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉換成數字濾波器的公式。

IIR數字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網絡。

在MATLAB下設計IIR濾波器可使用Butterworth函數設計出巴特沃斯濾波器，使用Cheby1函數設計出契比雪夫I型濾波器，使用Cheby2設計出契比雪夫II型濾波器，使用ellipord函數設計出橢圓濾波器。下面主要介紹前兩個函數的使用。

與FIR濾波器的設計不同，IIR濾波器設計時的階數不是由設計者指定，而是根據設計者輸入的各個濾波器參數（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟件設計出滿足這些參數的最低濾波器階數。在MATLAB下設計不同類型IIR濾波器均有與之對應的函數用於階數的選擇。

IIR單位響應為無限脈衝序列FIR單位響應為有限的

IIR幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應用於對相位信息不敏感的音頻信號上；

FIR幅頻特性精度較之於iir低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經過FIR濾波器後他們的時間差不變。這是很好的性質。

另外有限的單位響應也有利於對數字信號的處理，便於編程，用於計算的時延也小，這對實時的信號處理很重要。

數字濾波器可以按所處理信號的維數分為一維、二維或多維數字濾波器。一維數字濾波器處理的信號為單變量函數序列，例如時間函數的抽樣值。二維或多維數字濾波器處理的信號為兩個或多個變量函數序列。例如，二維圖像離散信號是平面座標上的抽樣值。

處理一維數字信號序列的算法或裝置。線性、時不變一維數字濾波器的輸出信號序列y(n)和輸入信號序列x(n)的關係由線性、常係數差分方程描述：（如圖1）

相應的Z域轉移函數圖二式中ar、bk為數字濾波器係數，Z【y(n)】和Z【x(n)】分別為輸出和輸入信號序列的Z變換。轉移函數H(z)的Z反變換稱為一維數字濾波器的單位衝激響應，即h(n)=Z-1【H(z)】。輸出信號序列也可以表示為輸入信號序列x(n)與數字濾波器單位衝激響應h(n)的離散褶積（如圖三）

如果數字濾波器的單位衝激響應h(n)只有有限個非零值，稱為有限衝激響應數字濾波器。如果單位衝激響應具有無限多個非零值，稱為無限衝激響應數字濾波器。

有限衝激響應數字濾波器一般採取非遞歸型算法結構，因此也稱非遞歸型數字濾波器。無限衝激響應數字濾波器只能採取遞歸型算法結構，故又稱遞歸型數字濾波器。

處理二維數字信號序列的算法或裝置。線性、時不變二維數字濾波器的輸出 y(m，n)與輸入 x(m，n)關係由兩個變量線性常係數差分方程描述：（如圖4）

相應的轉移函數為圖5式中，a b為濾波器係數,Z【y(m,n)】和Z【x(m，n)】分別為輸出和輸入信號序列的二維Z變換。轉移函數H(z1，z2)的二維Z反變換h(m，n)=Z-1【H(z1,z2】,稱為二維數字濾波器的單位衝激響應。二維數字濾波器的輸出y(m，n)亦可表示為輸入信號序列x（m,n）和單位衝激響應h(m，n)的二維離散褶積（圖六）

二維數字濾波器對單位衝激響應亦分有限衝激響應和無限衝激響應兩類。二維有限衝激響應數字濾波器為非遞歸型算法結構，因此又稱二維非遞歸型數字濾波器。二維無限衝激響應數字濾波器為遞歸型算法結構，因此也稱二維遞歸型數字濾波器。