緊化

在弦理論中，將超弦理論放置在10 維中就會沒有反常，沒有反常是個非常重要同時令人滿懷憧憬的發現維數確定以後的問題是額外維的問題，即這10 維中超出人類所能理解的那6維如何解決。

20 世紀20 年代最早曾經被卡魯查( Th.Kaluza)和克萊因( O.Klein)提出過， 就是將其看做是捲起來了， 捲到了極小不能被看到的尺度。這種將維度捲到了非常小以至於很難被看到的程度的思想被稱為緊化。

卡魯扎-克萊因理論是一個緊化的例子。通過把額外的第五維捲曲成一個半徑非常小的圓，引力和電磁力得以被統一理解。在超引力的領域中，11維超引力中捲曲的7維流形的對稱性，用來在引力框架內包容描述強力、弱力和電磁力的標準模型。

弦論中的緊緻化，是卡魯扎-克萊因理論的一種擴充和應用。考慮費米子自由度後，超弦理論只有在10維才自洽。為了聯繫10維的超弦理論和4維的現實世界，我們通常把多餘的6維捲曲起來。為了保證4維有效理論至少具有

超對稱，6維流形的完整羣應為

而非最廣泛的情形

，因此6維流形應是卡拉比–丘流形，包含軌形、不可定向形或D膜的緊緻化亦被廣泛討論。

不同的額外維流形的模對應於4維有效場論中不同的真空。為了固定這些模，與D膜的耦合規範場被用來確定低維有效理論的勢。這即為通常所説的通量緊化。由於卡拉比–丘流形的貝蒂數

和

通常很大，其通量緊緻化的合理真空數量驚人；這一性質被用來解釋理論計算的宇宙學常數和觀測所得的暗能量不符合的疑難 ^[1]  。

在數學中，緊化是將一個拓撲空間擴大為緊的過程或結果。緊化的方法有多種，但每一種方法都是以某種方式添加“無窮遠點”控制“跑向無窮遠”的點或阻止這樣的“逃逸”。

拓撲空間

作為稠密子集嵌入一個緊空間稱為

的一個緊化。將拓撲空間嵌入緊空間中經常有用，因為緊空間有一些特殊性質。嵌入緊豪斯多夫空間可能特別讓人感興趣。因為每個緊豪斯多夫空間是一個吉洪諾夫空間，而吉洪諾夫空間的每個子空間是吉洪諾夫的，我們得出每個有豪斯多夫緊化的空間必須是吉洪諾夫空間。事實上，其逆亦真；吉洪諾夫空間是存在豪斯多夫緊化的充分必要條件。

很多有趣的非緊空間確實有特別類型的緊化，這個事實使緊化成為拓撲學中的常用技巧。

對一個拓撲空間

，它的（亞歷山德羅夫）單點緊化

是通過添加額外一點

（通常叫做無窮遠點）得到的，定義新空間的開集是

中的開集以及具有

形式的集合，這裏

是

的一個子集使得

閉且緊。

的單點緊化是豪斯多夫的當且僅當

是豪斯多夫的且局部緊 ^[2]  。

其次，豪斯多夫緊化，即緊化中緊空間是豪斯多夫。一個拓撲空間有豪斯多夫緊化當且僅當它是吉洪諾夫。在這種情形，存在惟一（差一個同胚）“最一般的”豪斯多夫緊化，

的斯通-切赫緊化，記作

。空間

由泛性質刻畫，任何從

到一個緊豪斯多夫空間

的連續函數可以惟一地延拓為從

到

的連續函數。更確切地説，

是一個包含

的緊豪斯多夫空間使得

上由

誘導的拓撲與

上本來的拓撲相同，且對任何連續映射

，這裏

是一個緊豪斯多夫空間，存在惟一連續映射

使得

限制在

上等同於

。

斯通-切赫緊化可具體地構造如下：設

是從

到閉區間

的連續函數集合。則

中每一點可與

上一個取值函數等同。這樣

可與

的一個子集等價，這裏

是從

到

的所有函數集合。由吉洪諾夫定理後者是緊的，

的閉包作為該空間子集也是緊的。這就是斯通-切赫緊化。