卡拉比–丘流形

數學家卡拉比在1957年猜想所有這種流形（對於每個凱勒類）有一個裏奇平坦流形的度量，該猜想於1977年被丘成桐證明，成為丘定理（Yau's theorem）。因此，卡拉比–丘流形也可定義為“緊裏奇平坦卡拉比流形”（compact Ricci-flat Kähler manifold）。

也可以定義卡拉比–丘n流形為有一個SU(n)和樂（holonomy）的流形。再一個等價的定義是流形有一個全局非0的全純(n,0)-形式。

在復一維的情況，唯一的例子就是環面族。注意環上裏奇平坦的度量就是一個平坦度量，所以和樂羣（holonomy）是平凡羣，也叫SU(1)。

在復二維的情形，環T和K3曲面組成了僅有的實例。T有時不被算作卡拉比–丘流形，因為其和樂羣（也是平凡羣）是SU(2)的子羣而不是同構於SU(2)。從另一方面講，K3曲面的和樂羣是整個SU(2)，所以他可以真正成為2維的卡拉比–丘流形。

在復三維的情況，可能的卡拉比–丘流形的分類還是未解決的問題。3維卡拉比–丘流形的一個例子是復射影空間CP中的5次三流形。

卡拉比–丘流形對於超弦理論很重要。在最常規的超弦模型中，弦論中有十個猜想中的維度，作為我們所知的4個維度出現，在加上某種纖維化，纖維的維度為6。卡拉比–丘n-流形的緊緻化很重要，因為他們保持一些原有的超對稱性不被破壞。更精確地説，卡拉比–丘 3-流形（實維度6）的緊緻化保持四分之一的原有超對稱性不變。