策梅洛-弗蘭克爾集合論

ZFC 構成自一個單一的基本本體論概念集合，和一個單一的本體論假定，就是在論域中所有的個體(就是所有數學對象)都是集合。有一個單一的基本二元關係集合成員關係；集合 a是集合 b的成員寫為 ab(通常讀做 "a 是 b 的元素")。ZFC 是一階理論；所以 ZFC 包括後台邏輯是一階邏輯的公理。這些公理支配了集合的行為和交互。ZFC 是標準形式的公理化集合論。使用 ZFC 的大量的正在進行中的普通數學推導請參見 Metamath在線計劃。

在 1908 年，恩斯特·策梅洛提議了第一個公理化集合論，策梅洛集合論。這個公理化理論不允許構造序數；而多數“普通數學”不使用序數就被不能被開發，序數在多數集合論研究中是根本工具。此外，Zermelo 的一個公理涉及“明確性”性質的概念，它的操作性意義是有歧義的。在 1922 年，Abraham Fraenkel和 Thoralf Skolem獨立的提議了定義“明確性”性質為可以在一階邏輯中公式化的任何性質。從他們的工作促成了替代公理。Zermelo 集合論接受替代公理和正規公理產生了被稱呼為 ZF的這個集合論。

向 ZF 增加選擇公理產生了 ZFC。在數學成果要求選擇公理的時候，有時明顯的這麼聲明。這麼單提出 AC 的原因是 AC 天生的是非構造性的；它確立一個集合(選擇集合)的存在，而不規定如何構造這個集合。所以使用 AC 證明的結果涉及儘管可以證明其存在(如果你不忠於構造主義本體論的話)，但可能永遠都不能構造出來的集合。

ZFC 有無窮多個公理，因為替代公理實際上是公理模式。已知 ZFC 和 ZF 集合論二者都不能用有限數目個公理來公式化；這最先由 Richard Montague證實。在另一方面，馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論（Von Neumann–Bernays–Gödel, NBG）可以有限的公理化。NBG 的本體論同集合一樣包括類；類是有成員但不是其他類的成員的實體。NBG 和 ZFC 是等價的集合論，在關於集合(就是説不以任何方式提及類)的任何定理在一個理論中可以證明就可以在另一個理論中證明的意義上。

依據哥德爾第二不完備定理，ZFC 的相容性不能在 ZFC 自身之內證明。ZFC 的廣延等同於普通數學，所以 ZFC 的相容性不能在普通數學中證明。ZFC 的相容性可從弱不可及基數的存在而得出，它是其存在不能在 ZFC 中證明的某種東西。但是幾乎沒有人懷疑 ZFC 有什麼未被發覺的矛盾；如果 ZFC 是不自洽的，早就該被髮掘出來。這是確定無疑的: ZFC 免除了樸素集合論的三大悖論，羅素悖論、布拉利-福爾蒂悖論和康托爾悖論。

它比幾乎所有普通數學所要求的程度還要強（Saunders MacLane和 Solomon Feferman這麼認為）； 相對於其他集合論的公理化，ZFC 相對要弱。例如，它不允許全集（如新基礎）或類（如 NBG）的存在； Saunders MacLane（範疇論的締造者之一）和其他人爭論説任何公理化集合論對於實際上的數學工作方式而言都是不正當的。依據他的觀點，數學不是關於抽象對象的蒐集和它們的性質的學科，而是關於結構和結構保持的映射的學科。

策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理由一階邏輯的邏輯公理和八條非邏輯公理組成。

(1)同一律（外延公理）：兩個集合相等的充分必要條件是它們具有相同的元素，即

(2)配對集公理：任給兩個集合X和Y，都有一個恰好由它們組成的集合{X,Y}，即

(3)並集公理：任給一個集合X，都有一個恰好由X的元素的元素之全體所組成的集合

，即

(4)冪集公理：任給一個集合X，都有一個恰好由它的子集合的全體組成的集合P(X)，即

^[3] 

(5)無限集公理：存在一個滿足如下兩條要求（a）和（b）的集合X，

（a）X含一個元素；

（b）如果Y∈X，那麼Y∪{Y}∈X。其中Y∪{Y}={Y,{Y}}，即

(6)分解原理：分解公理又稱概括公理，應當注意到這裏的表達式並非樸素集合論的概括方式。設φ(x,y₁,…，y𝗇)（1≤n<∞）是集合論語言的一個表達式。任給集合X和p₁,…,p𝗇，集合X中的那些具有性質φ[u,y₁,…，y𝗇]的元素u構成一個集合Y，即

(7)映像存在原理：映像存在原理又稱替換公理（置換公理）。它由以色列數學家弗倫克爾(Fraenikel)1922 年引入。設φ(x,y)是集合論語言的一個表達式。又設表達式φ(x,y)決定一種對應關係，也就是説，對於任意的集合u，最多存在一個集合v來滿足φ[x,y]所給出的對應要求。任給集合X，能夠與X中的某個元素u形成對應關係φ[x,y]的那些集合v組成一個集合Y，即

(8)∈極小原理：∈ 極小原理又稱正則公理，它由馮諾依曼1925 年引入。任何一個非空集合必含有一個∈極小元素，也就是説，如果X中有一個元素，那麼X中一定有一個元素都不在X之中的元素a，即

上述的分解原理和映像存在原理實際上由無限多條公理組成，也就是説，給定一個表達式φ以上述原理就給出一條公理。ZF 理論的前6條公理都由德國數學家策梅洛1908 年引入。 ^[1]